等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明

教学重点 等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
教学难点 能够用综合法证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
教学方法
教学后记
教学内容及过程
教师活动
学生活动
一、定理：一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形
1．引导学生回忆上节课的内容，让学生思考：等腰三角形满足什么 条件时便成为等边三角形?让学生对普遍联系和相互转化有一个感性 的认识。 2．肯定学生的回答，并让学生进一步思考：有一个角是 60°的等腰 三家形是等边三角形吗?组织学生交流自己的想法。渗透分类讨论的 思维方法。 3．关注学生得出证明思路的过程，讲 评。讲解定理：有一个角 是 60°的等腰三角形是等边三角形。
课题 教学目标
32.1 等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明（1） 课型 新授课
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角 形的关性质定理和判定定理。
教学重点 了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
CE 的 等 长 性 没 有 影
5．引导学生进一步推广，把上面 3、4 中的 k 取一般的自然数后， 响，有了一些成就感之
原结论是否仍然成立?要求学生说明理由或给出证明。
后，又面临新的任务：
6．对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的 BD＝CE 吗?因此学生
时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明。
32.1 等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明（2） 课型 新授课 1、掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形 的关性质定理和判定定理。 3、结合实例体会反证法的含义。
等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学难点 能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
五、作业：同步练习
1．积极动手操作， 并很快得到结果： 可以拼出等边三角 形。
2．在拼摆的基础上 继续探索，得出结 论。并在探索的过 程中得到证明的思 路。 3．认真听讲，体会 从探索和尝试中得 到结论的过程和证 明方法的步骤，掌 握定理。
板书设计：
4．很有兴趣地折叠
纸片，体会定理的
你能证明它们吗(三) 有一个角等于 60°的等腰三角形 是等边三角形。
四、想一想：
CE
A
B
D
F 些能够立 即证明
让同学们 通过探索、 合作交流 C 找出其他 的证明方
法
在上图中，线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ 学生回顾
应让学生回顾前面的证明过程，思考线段 AD 具有的性质和特征，从而 前面的证
得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。
明过程，思
导学生探究、猜测当 k 为其他整数时，BD 与 CE 的关系。
明，一部分学生需要老
4. 引 导 学 生 探 究 ， 对 于 上 述 例 题 ， 当 师的帮助。
AD= 1 AC,AE= 1 AB,k= 1 , 1 时，通过对例题的引申，培养学生
k
k
23
4．在已经探究了角的 大小的改变对于 BD，
的发散思维，经历探究—猜测—证明的学习过程。
行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理 5、3、4、6 可容易证明下面的推论： 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS） 证明过程： 已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证：△ABC≌△DEF 证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知） ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于 180°） ∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E) ∠C=∠F（等量代换） BC=EF（已知） △ABC≌△DEF（ASA） 这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步 骤，为下面的推理证明做准备。 三、议一议： （1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ （2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？
结论的同时受到老师
10．总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解。 的鼓励，有很高的热情
11．小结这两个课时的内容。
进行后续学习。
作业：
7．较少接触这样的命
同步练习
题，因此会感到新鲜，
有用已知公理和定理
板书设计：
对命题的真假性进行
探索——发现——猜想——证明
判断的欲望。在老师指 导下完成证明。
学生活动
这个推论 虽然简单， 但也应让 学生进行 证明，以熟 悉的基本 要求和步 骤，为下面 的推理证 明做准备。 学生充分 讨论问题 1，借助等 腰三角形 纸片回忆 有关性质
等腰三角形（包括等边三角形）的性质
A
学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆
D
让学生尽
可能回忆
出来，然后再考虑哪些能够立即证明。
演绎证明的初步的推理能力。
猜测结论仍然成立。但
9．启发学生思考：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这 有些学生给出全部证
两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立?如果成立，能否证 明可能会有困难。
明。这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述可 6．认真听讲，在掌握
以提高学生的思维能力。
综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。 和相等的
七、课外作业：
角，发现等
同步练习
腰三角形
板书设计：
性质定理 的推论，从
公理：SAS ASA SSS
推论：AAS 三线合一
而得到结
A
论，这一结
合通常简
述为“三线
合一”。
B
D
C
对应相等的两个三角形全等。 （AAS）
课题 教学目标 教学重点
A
中线段的关系，积极思
考，认真听讲。
3．对于课件的演示很
E
D
中,∠ABD=
感兴趣，凭直观感觉可 以猜测，不管 k 为何
B
C
值，BD=CE 总成立。 基于前面例题的启发，
1 ∠ABC, ∠ACE= 1 ∠ACB,k= 1 , 1 时,BD 是否与 CE 相等。引
k
k
34
想要给出证明。一部分 学生可以自己给出证
教学方法
教学后记
教学内容及过程
教师活动
学生活动
一、等腰三角形性质的探究
1．让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中 1．积极思考，回忆以
能找到哪些相等的线段。
前所学知识，联想新问
2．播放课件，结合刚才的问题讲解例 1 的命题，并为后面将此性 题。
质拓展埋下伏笔。
3．分别演示：
2．认真观看例 1 图形
会满怀热情地进行这
7．提出新的问题，引导学生从“等角对等边”这个命题的反面思 部分探究活动，而且有
考问题，即思考它的逆命题是否成立。适时地引导学生思考可以 了前面的体验，探究也
用哪些方法证明?培养学生的推理能力。
会比较顺利。
8．归纳学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生 5．兴致高涨，凭直觉
出来，然后
定理：等腰三角形的两个底角相等。
再考虑哪
这一定理可以简单叙述为：等边对等
B
角。 已知：如图，在 ABC 中，AB＝AC。 求证：∠B＝∠C 证明：取 BC 的中点 D，连接 AD。 ∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD， ∴△ABC△≌△ACD (SSS) ∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等)
1．积极地自主探 索、思考等腰三角 形成为等边三角形 的条件。可能会从 边和角两个角度给 出答案。
2．积极思考，通过 老师的点拨，分类 讨论当这个角分别 是底角和顶角的情 况。
二、一种特殊直角三角形的性质
3．认真听讲，体会 分类讨论的数学思 维方法，理解定理。
1．让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问：能拼成一个怎样的三角 形?能否拼出一个等边三角形?并说明理由。 2．肯定学生的发现和解释，在此基础上进一步深入提问：在直角三 角形中，30°所对的直角边与斜边有怎样的大小关系? 3．演示规范的证明步骤，同时引导学生意识到：通过实际操作探索 出的结论还需要给予理论证明。 4．让学生准备一张正方形纸片，，按要求动手折叠。 5．讲解例题，应用定理。 6．布置学生做练习。 练习：课本 随堂练习 1 四、课堂小结： 通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？
Байду номын сангаас
推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 考线段 AD
五、随堂练习：
具有的性
做教科书习题第 1，2 题。
质和特征，
六、课堂小结：
讨论图中
通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的 存在的相
基本步骤和书写格式。经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用 等的线段
8，积极动脑思考，认
真听讲，获得对演绎证
明的初步体会。
9．可以从直观上得出
结论，但是此处要求证
明，体会到证明的必要
性。遇到认知上的冲
突，激起学习欲望。
10．怀有强烈的求知欲
听讲，对反证法有了感
性认识和一定的理解。
11．体会老师的讲解，
并根据小结记忆掌握
知识。
（学生小结：掌握证明
的基本步骤和书写格
式。经历“探索－发现
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
应用。 5．听讲，体会定理 的应用。 6．认真做练习。
（学生小结：掌握 证明与等边三角 形、直角三角形有 关的性质定理和判 定定理）
教学难点 能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学方法 观察法
教学后记
教学内容及过程 一、复习：
1、什么是等腰三角形？ 2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？ 二、新课讲解： 之前，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已 经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理: 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平
－猜想－证明”的过
程。能够用综合法证明
等腰三角形的两条腰
上的中线（高）、两底
角的平分线相等，并由
特殊结论归纳出一般
结论。等腰三角形的判
定定理。了解反证法的
推理方法。）
课题 教学目标
32.1 等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明（3） 课型 新授课
1、掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明直角三角 形的有关性质定理和等边三角形的判定定理。