大学物理 第十章 波动学基础

−5
2
10-10 两相干波源分别在 P,Q 两处，它们相距
3 λ ，如图 10.3 所示。由 P,Q 发出频率为 v ， 2
∆ϕ = −2π •
所以和振幅为
PR − QR = −3π λ A = A1 − A2
答 案
（2） 因为两波源的初相位差为（假设 P 振动相位超前 Q 振动相位） ， P,Q 两波源在 R 点引 起振动的相位差为
10-12 绳索上的驻波公式为： y = 0.08 cos 2π x cos 50π t (m ) ，求 形成该驻波的两反向行进 波的振幅、波长和波速。 解 得： 把 y = 0.08 cos 2π x cos 50π t (m ) 与驻波的标准形式 y = 2 A cos
2π x cos ωt (m ) 线比较 λ
A = 0.05m; ω = 10π ; T = v=
（2）各质元的速度为
2π = 0.2s 10π
1 = 5s −1 ; u = 2.5m • s −1; λ = u • T = 0.5m T
v = 0.05 × 10π sin ( 4π x − 10π t ) m • s −1
所以
各质元的加速度为
（2）将 x=16m 和 x=20m 代入波动方程得振动方程为
y1 = 0.1cos(200π t − 6.5π )m y2 = 0.1cos(200π t − 8.5π )m
所以初相位分别是
ϕ10 = −6.5π
（3） 距波源 15m 和 16m 处的两质元的相位差为
x ⎞ x ⎞ x −x π ⎛ ⎛ ∆ϕ = 200π ⎜ t − 1 ⎟ − 200π ⎜ t − 2 ⎟ = −200π 1 2 = 400 2 ⎝ 400 ⎠ ⎝ 400 ⎠
∆ϕ = π − 2π •
所以合振幅为
10-11 两个波在一根很长的细绳上传播，它们的方程分别为
w.
式中，x,y 以 m 计，t 以 s 计。 （1） 试证明这细绳实际上作驻波振动，并求波节和波腹的位置； （2） 波腹处的振幅为多大？在 x=1.2m 处质元的振幅多大？ 解 （1）任意质元在任意时刻的位移为
y1 = 0.02cos ( 5π t − 200π x ) m
两时刻的波形图如图 10.2（b）所示。 10-6 一平面简谐波的波动方程为
y2 = 0.02cos (10π t − 200π x ) m
此质元在此时刻的位置为
速度为
（2）将 x=0.4m 代入有 得
ww
10-7 一波源做简谐振动，周期为 0.01s,振幅为 0.1m，经平衡位置向正方向运动时为计时起 点，设此振动以 400m • s 的速度沿直线传播， （1）写出波动方程； （2）求距波源 16m 处和 20m 处的质元的振动方程和初相位； （3）求距波源 15m 处和 16m 处的两质元的相位差是多少？ 解 （1）取波源的传播方向为 x 轴的正向，由题意可知波源振动的初相位为 ϕ =
1 3 5 , , , …(m) 2 2 2 A波腹 = 0.12 （m）
y = y1 + y 2 = 0.12cos π x cos 4π t
A = 0.12cos1.2π = 0.097( m)
5
w.
PR − QR = −2π λ
网
co m
波长为 λ 的相干波。R 为 PQ 连线上的一点，求下面的两种情况两波在 R 点的和振幅： （ 1） 设两波源有相同的初相位； （2）两波源初相位为。 解 （1）设两波源有相同的初相位，P,Q 两波源在 R 点引起振动的相位差为
（2）这 4 点的初相位各为多少？（3）这 4 点开始运动的时刻比振源落后多少？ 解 （1）
（2）
（3）
10-2 波源做谐振动，周期为 0.01s ，振幅为 1.0 × 10−2 m ，经平衡位置向 y 轴正方向运动时， 作为计时起点，设此振动以 u = 400m • s −1 的速度沿 x 轴的正方向传播，试写出波动方程。 解 根据题意可知，波源振动的相位为 ϕ =
课 后
3 π 2
∆ϕ1 1 ∆ϕ 1 = T , ∆t2 = T , 2 = T 2π 4 2π 2 ∆ϕ 3 ∆ϕ ∆t3 = T , 3 = T , ∆t4 = T , 4 = T 2π 4 2π ∆t1 = T ,
ω=
2π 2π = = 200π , A = 1.0 × 10−2 m, u = 400m • s −1 T 0.01 ⎡ x ⎞ 3 ⎤ ⎛ y = 1.0 × 10−2 cos ⎢ 200π ⎜ t − ⎟+ π⎥m ⎝ 400 ⎠ 2 ⎦ ⎣
x⎞ ⎟ 比较得 u⎠
1
答 案
x ⎞ ⎛ y = 0.05cos10π ⎜ t − ⎟m ⎝ 2.5 ⎠
w.
网
π π π − ∆ϕ1 = 0, ϕ2 = − ∆ϕ2 = − , 2 2 2 π π 3 ϕ3 = − ∆ϕ3 = −π , ϕ4 = − ∆ϕ4 = − π 2 2 2 ϕ1 =
co m
4
w.
−4 2
网
10-8
有一波 在媒 介 中传 播， 其 速度 u = 1× 10 m • s
3
−1
的总能量为
co m
，振幅 A = 1.0 × 10 M ，频率
−4
ϕ20 = −8.5π
（2）波长
λ = uT =
u = 1( m ) v
所以每两个相邻的，相位差为的波段中的能量为
⎛ 0.14 ⎞ −7 E = ω • V = ω • S • λ = 6 × 10 × π ⎜ ⎟ × 1 = 9.24 × 10 ( J ) 2 ⎝ ⎠
A = 0.04m, λ = 1m, u =
λ λω = = 25(m • s −1 ) T 2π
10-13 一警笛发射频率为 1500Hz 的声波，并以 22m • s −1 的速度向着观测者运动，观测者
340m • s −1 ）
解 观测者所听到的警笛发出的声音的频率为
v=
ww
w.
kh da
课 后
ww
w.
⎛ ⎝
与 y = A cos ω ⎜ t −
kh da
课 后
x⎞ ⎟ m 相比较得 u⎠
10-4 设在某一时刻的横波波形曲线的一部分如图 10.1 所示。若波向 x 轴正方向传播， （ 1） 试分析用箭头表明原点 0，1，2，3，4 等点在此时的运动趋势； （2）确定此时刻这些点的振 动初相位； （ 3）若波向 x 轴的正方向传播，这些点的振动初相位为多少？ 解 （1）因为波是沿 x 轴的正方向传播的，所以下一个时刻的波形如图 10.1 中虚线所示。 由图可知：O 点的运动趋势向 y 轴正方向；1 点的运动趋势向 y 轴的正方向；2 点的运动趋 势向 y 轴的负方向；3 点的运动趋势向 y 轴的负方向；4 点的运动趋势向 y 轴的正方向。 (2) 各点的振动的初相位分别为
波动方程
ww
10-3
期、波长、波速和振幅； （2）求 x 轴上各质元振动的最大速度和最大加速度。 解 （1）比较系数法 将波动方程改写成
w.
⎛ ⎝
一平面简谐波的波动方程为 y = 0.05cos ( 4π x − 10π t ) m ，求（1）此波的频率、周
与 y = A cos ω ⎜ t −
kh da
6
答 案
−1
w.
kh da
ϕ = 4π × 2.1 − 2π × 0.2 = 8π
（1）x=0.2m 处的质元在 t=2.1s 时刻的振动相位为多少？此相位所描述的运动状态如何？ （2）此相位值在哪一时刻传至 0.4m 处？ 解 （1）将 t=0.01s 及 t=0.02s 代入波动方程得
课
后
y = 8 × 10−2 cos8π = 8 × 10−2 (m )
I=
后
（2）求 1min 内垂直通过一面积为 S = 4 × 10 m 的总能量。
（2） 1min 内垂直通过一面积为 S = 4 × 10 m
ww
10-9 一平 面简 谐 波 沿 直径 为 0.14m 的圆 柱形 管 行 进 （管 中 充 满 空气） ，波 的 强度 为
18 × 10−3 J • s −1 • m−2 ，频率为 300Hz，波速为 18 × 10−3 J • s −1 • m −2 ，问：
ww
所以这细绳实际上做驻波式振动。 波节位置为 cos π x = 0 ，即 x =
波腹位置为 cos π x = ±1 ，即 x = 0,1, 2,3, …(m) （2） 波腹处的振幅为
在 x=1.2m 处质元的振幅为
kh da
课 后
A = A1 + A2 y1 = 0.06cos π ( x − 4t ) y2 = 0.06cos π ( x + 4t )
w.
网
amax = 0.05 × (10π )2 = 49.3(m • s −2 )
co m
2
vmax = 0.05 × 10π = 1.57(m • s −1 )
A = 0.02m; ω = 500π s −1; v = T=
ω = 250Hz 2π
1 = 0.004s; u = 2.5m • s −1 ; λ = uT = 0.1m v
(1) 波的平均能量密度和最大能量密度是多少？ （2）每两个相邻的，相位差为的波振面之间的波段中有多少能量？ 解 （1）波的平均能量密度为
最大能量密度
kh da
−4 2
E = ISt = 3.79 ×103 ( J )
I 18 × 10−3 ω= = = 6 × 10−5 ( J • m−3 ) u 300 wmax = 2ω = 1.2 × 10−4 ( J • m −3 )
（2）将 x=0.125m 及 x=1m 代入波动方程，得振动方程分别为
y1 = 0.02cos ( 500π t − 25π ) m y2 = 0.02cos (500π t − 200π ) m
绘 y-t 图如图 10.2（a）所示。 （3）将 t=0.01s 及 t=0.02s 代入波动方程，得两时刻的波方程分别为
习题精解
10-1 在平面简谐波的波射线上， A,B,C,D 各点离波源的距离分别是
λ λ 3 , , λ , λ 。设振源的 4 2 4
பைடு நூலகம்
振动方程为 y = A cos ⎜ ωt +
⎛ ⎝
π⎞ 振动周期为 T. （1） 这 4 点与振源的振动相位差各为多少？ ⎟ ， 2⎠
∆x π ∆x = , ∆ϕ 2 = 2π =π, λ 2 λ ∆x 3π ∆x ∆ϕ3 = 2π = , ∆ϕ4 = 2π = 2π λ 2 λ ∆ϕ1 = 2π
v = −4π × 8 × 10−2 sin 8π = 0
4π t − 2π × 0.4 = 8π
t = 2.2 ( s )
答 案
w.
y = 8 × 10−2 cos ( 4π t − 2π x ) m
网
ω=
2π = 200π ，所以波方程为 T
3
co m
3 π， 2
⎡ x ⎞ 3 ⎤ ⎛ y = 0.1cos ⎢ 200π ⎜ t − ⎟+ π⎥m ⎝ 400 ⎠ 2 ⎦ ⎣
1 3 1 ′ = π ;ϕ1′ = π ;ϕ 2 ′ = π ;ϕ 3 ′ = 0;ϕ 4 ′= π ϕ0 2 2 2
答 案
3 1 3 ϕ0 = π ;ϕ1 = π ;ϕ 2 = π ;ϕ 3 = 0;ϕ 4 = π 2 2 2
x ⎞ ⎛ y = 0.02cos 500π ⎜ t − t ⎟m ⎝ 2.5 ⎠
(1) 求该波的平均能流密度；
答 案
v = 103 Hz ，若媒介的密度为 800kg • m −3 ,
解 （1）由 v = 103 Hz 知道 ω = 2π v = 2 × 103 π s −1 ，该波的平均能流密度为
w.
课
2 2 1 1 ρ A2ω 2u = × 800 × (1.0 × 10−4 ) × ( 2 × 103 π ) × 103 2 2 5 = 1.58 × 10 ( J • s −1 • m −2 )
a = −0.05 × (10π )2 cos ( 4π x − 10π t ) m • s −2
所以
（3）若波向 x 轴的负方向传播，则各点振动的初相位分别为
10-5 一平面简谐波的波动方程为 y = 0.02cos ( 500π t − 200π t ) m (1)求该波的振幅、 周期、 圆频率、频率波速和波长； （2）设 x = 0 处为波源，求距波源 0.125m 及 1m 处的振动方程， 并分别绘出它们的 y-t 图 ； （ 3）求 t=0.01s 及 t=0.02s 时的波动方程，并绘出对应时刻的波形 图。 解 （1）将波动方程变为