大学物理电场静电场中的介质以及电容和电容器

自由电荷
定义：电位移矢量
D 0E P
电介质中的高斯定理：

D dS
s

s内
q0
电位移矢量通过静电场中任意封闭曲面的通量 等于曲面内自由电荷的代数和
电介质中的高斯定理：
注意：

D dS
s
q
s内
'
0
电位移矢量 D 0 E P : 与
静电场高斯定理
自由电荷

1 E dS
s
0
q
内

1
0
(q
s内
0
q )
'
1
0 极化电荷
( q0
s内

P dS )
s

s
( 0 E P ) dS

s内
q0
自由电荷

s
( 0 E P ) dS

s内
q0
C Q U
电容器储电能力 两极板间电势差 为一个单位时， 极板的带电量.
C Q U
与周围导体、 电介质、 带电体分布有关
极板间距 线度 由于静电屏蔽， C 值稳定.
二 .电容的计算 [例1] 半径R 的孤立金属球的电容 孤立导体：周围无其他导体，电介质，带电体. 设其带电量为Q， 令
q0 , q
均有关
0

D dS :
s
穿过闭合曲面的 D 通量仅与
q
s内
有关.
特例： 真空——特别介质 ' q 0 , P 0 , D 0E P 0E 回到

1 E dS
s
0
q
( S内 )
0
2. 如何求解介质中电场？
' 总场 = 外场 + 极化电荷附加电场 E E 0 E
0 r S
d
球形电容器
R2
R1
o
r
C
4 0 r R 1 R 2 R 2 R1
总结：求电容器电容的一般方法
1）设极板带电 Q
2）选高斯面，求 D ? E ?
3）求电容器两极板间电势差 U 4）由电容定义
C Q U

E dl
三 . 电容器的串并联
0
E
300 V

0
0
D
0
0
5 3
0
5 3
1 3
0
1 3

100 V
D1

0
D2

0
E1 E 2
0
充介质后
3 0



4 3

0
§ 9.8 一. 电容 类比
电容
电容器
容器储水能力 提高单位 水位所注 入的水量
导体储存电荷能力 提高单位电势 所增加的带电量
例(266页9-35) 已知：平行板电容器

0
, U 0 300 V
10
S
20
充一半电介质： r 5
1
'
r
1
'
U
20
求： D 1 , E 1 , 10 ,
D2 , E2 ,
20
' 1
10
, U
解：介质分界面⊥等势面，未破坏各部分的面对称性， 选底面与带电平板平行的圆柱面为高斯面.
同学们好！
?
费米对于“什么是物理，什么不 是物理”有一个很清楚的价值观念。 他认为太多形式化的东西不是不可 能出物理，只是出物理的可能性常 常很小，因为它有闭门造车的危险。 而跟实际接触的物理才是能够长期 站得住脚的物理。
－摘自《杨振宁文录》
（意.1901－1954.因为对慢中子引起的核反应等的研究荣获 1938年诺贝尔物理奖）
4.极化现象的描述 1） 从分子偶极矩角度 单位体积内分子偶极矩矢量和——极化强度.
P pi

V
设 分子数密度：n
极化后每个分子的偶极矩:q 1 L
P nq 1 L
实验规律
P
E 0
总场 E E 0 E
空间矢量 函数
介质 极化率
步骤： 对称性分析，选高斯面.

D dS
s

q0 D
E
D
( S内 )
0 r
E
注意：q 0 的对称性 —— 球对称、轴对称、面对称.
电介质分布 的对称性
均匀无限大介质充满全场（246页例一） 介质分界面为等势面（246页例二） 介质分界面与等势面垂直（266页9.35）
静电场与物质的相互作用：
静电场中的导体、电介质（绝缘体）
上讲:
本讲： 要点：
静电场中的导体
静电场中的电介质（难点） 1. 电介质的极化及其描述. 2. 介质中的高斯定理,
D
矢量.
3. 求解电介质中的的电场.
4. 电容及其计算
§ 9.7
静电场中的电介质
一. 电介质的极化及其描述 1.电介质的分类
3. 金属导体和电介质比较
金属导体
特征 模型 电介质（绝缘体）
有大量的 自由电子 “电子气” 静电感应
基本无自由电子，正负电荷 只能在分子范围内相对运动
电偶极子
无极分子电介质: 位移极化 有极分子电介质: 转向极化
与电场的 相互作用
宏观 效果
内部：分子偶极矩矢量和不 静电平衡 为零 E 0, 0 导体内 pi 0 i 导体表面 E 表面 感应电荷 0 E 出现束缚电荷（极化电荷）
H
+ 无极 - 分子
H

e
+
pi 0
H
H


c
H
无极分子
电介质
物质结构 中存在着 正负电荷
+ 有极 pi 0
104

H 有极分子

分子
o

电介质
2.极化现象
H

H

c
H
H
无极分子 电介质
+ + + 无外场 pi 0
i
+ + + pi 0
-
pi
0 0
d 300 V
1
'
r
20
d
充介质后： U E 1d
10
0
3பைடு நூலகம் 0
d
U0 3
100 V
P1 n P1 cos P1 0 E 1
' 1
( r 1 ) 0

0
3 0

4 3

0
比较
充介质前


0
d x
ln
d a a
C
U
ln


ln
0
d a a
d a
dS
移过面元dS的电量
d q P cos d S P dS
S


移出封闭曲面S的电量

P dS
s
dq
'
q内

s
P d S q内
s
极化强度通过某封闭曲面的通量等于曲面内 极化电荷代数和的负值
二. 电介质中的电场 1. 介质中的高斯定理
P
E 0
χ:由介质的性质决定，与E无关。在各
向同性均匀介质中为常数。
2）从束缚电荷角度
作如图斜圆柱
' +dq + q1
n

电介质表面出现的 束缚电荷层
E
dS
L
q1
求移过面元dS的电量，即如图斜圆柱内的束缚电 荷电量dq'
dS -
dq′

'
n

d V d SL cos
R2
R1
电容器两极板间电势差：
R2
L
Q
r
S
U
h
r


R1
E dr
Q 2 0 r L
R2

R1
dr r
Q 2 0 r L
ln
R2 R1
由电容定义：
C
Q U

2 0 r L ln R2 R1
自学：P248
例二、例三
平行板电容器
S
r
d
C
U 0
U Q 4
0
则金属球电势：
由电容定义：
R
C
Q U
4 0 R
孤立导体电容取决于本身形状大小,与其是否带电无关。
练习：估算地球的电容
C 地 球 7 10
4
F
[例2] 推求圆柱型电容器，平行板电容器，球形电容器 公式 ，并总结求电容器电容的一般方法.
R2
R1
i
外场中(转向极化)
pi 0

i
pi 0
出现束缚电荷和附加电场
位移极化和转向极化微观机制不同，宏观效果相同。
统一描述

i
pi 0
出现束缚电荷(面电荷、体电荷)
实例：均匀介质球在均匀外场中的极化
非均匀场， 在介质球内 与外场反向。
在介质球外可能 与外场同向或反 向。在介质球内 削弱外场。
E0 P q ( , )
' ' '
' E E0 E
本课程只要 求特殊情况
各向同性电介质
q 0 , q 分布具有某些对称性
'
（1）各向同性电介质：
P 0 E
为常数
D 0 E P 0 E 0 E 0 ( 1 ) E
+ + -
E0
+
+
E
+ - +
外场中(位移极化) p i 0 pi 0 出现束缚电荷和附加电场
E总 E0 E 0 不一定与表面垂直
i
H

104

pi
+
H

-
F
pi
+
E0
-
F
o

E

有极分子 电介质
无外场 p i 0 pi 0
已知：L , R 1 , R 2 , r . 求：C 解： 设内极板带电量 Q 作半径 r ( R 1 r R 2 ) ，高h 的同轴圆柱面为高斯面.
Q s D d S D 2 rh L h
L
Q
r
S
h
r
得：
D
Q 2 Lr
E
D
0 r

Q 2 0 r Lr
令
得
1 r
介质的相对电容率
式中
E D D
D 0 r E E
0 : 0 r :
真空电容率
介质电容率


0 r
（2） q 0 , q 分别具有某些对称性 才能选取到恰当高斯面使 D d S 积分能求出.
s
'
E
d q nq 1 d V nq 1 d SL cos
L
+
q1
极化强度：
dq dS
P nq 1 L

P cos Pn
Pn
'
极化面电荷密度等于极化强度 的外法线分量
介质非均匀极化时，出现极化体电荷
dV





练习. P266 9－39.求两平行长直 导线单位长度间的电容（a，d） 解：设单位长度带电
0

a
a

o

x

E
d


x
（导体内）

x 0
E

2 0 ( d x )
d a
2
d
（导体间）
1 )d x
U

o
E dl


a
0

2

0
(
1 x
10
S S
S
20
1
'
U
r
20
( S 内 )
q
0

10
S
1
'
10

s
D1 d S

上
D1 d S

下
D1 d S

侧
D1 d S D1 S
导体内
E 0
cos 0
C并

i
Ci
1 C串


i
1 Ci
练习.
r 5
C1
9-35 （2）
S
C 1 0 r
S
2 0 r S d 2d
S
C2
0S
2d
C2 0
2 0S d 2d
C C1 C2
(
0
r
1)
r 1
2
C 0 3C 0
Q
不变
U
U 3
100 V
由高斯定理

s
D1 d S
D1
q
( S内 )
0
D 1 S 10 S
D 1 10 ; E 1
0 r
10
S
S
S
20
D 1 10
; E1
D1
1
'
S
0 r
1
'
r
20
d
同理
D2
20
10
; E2
D2
0
电量不变：
又： 解得

10

S 2

20

S 2

0
S
E 1d E 2d U
10 D 1
5 3

1 3
0
E1 E 2
1 3 0

0

20
D2

0
n
10
已知充介质前：
20
S
P
1
'
U 0 E 0d