运筹学_分支定界法
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⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
3
⑴x
1
x2 2
(18/11,40/11)
⑶
x1 4
3
x1 5 x 2 Z
x1
LP x1=18/11, x2=40/11 Z(0) ＝19.8
x1＝18/11, x2 =40/11
Z(0) =218/11≈(19.8)
即Z 也是（IP）最大值的上限。 对于x1＝18/11≈1.64， 取值x1 ≤1， x1 ≥2 对于x2 =40/11 ≈3.64， 取值x2 ≤3 ，x2 ≥4 先将（LP）划分为（LP1）和 （LP2）,取x1 ≤1, x1 ≥2
第三节 分枝定界法
（一）、基本思路 考虑纯整数问题：
m ax Z
n
c
j 1
n
j
xj
a ij x j b i ( i 1 .2 m ) ( IP ) j 1 x 0 ,( j 1 .2 n ) 且 为 整 数 j
m ax Z
c
j 1
n
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x , x 0且 全 为 整 数 1 2
记为（IP）
LP x1=18/11, x2=40/11 Z(0) ＝19.8 x1≤1 LP1 x1=1, x2=3 Z(1) ＝16 ＃ x1≥2 LP2 x1=2, x2=10/3 Z(2) ＝18.5 x2≤3 x2≥4
x1≤2
LP21 x1=12/5, x2=3 Z(21) ＝17.4
x1≥3
LP22 无可 行解
＃
LP211 x1=2, x2=3 Z(211) ＝17 ＃
LP212 x1=3, x2=5/2 Z(212) ＝15.5 ＃
例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x , x 0且 全 为 整 数 1 2
⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
3
⑴x
1
x2 2
Βιβλιοθήκη Baidu
⑶
x1 4
3
x1 5 x 2 Z
x1
x1＝18/11, x2 =40/11
Z(0) =218/11≈(19.8)
即Z 也是（IP）最大值的上限。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
max Z
c
j 1
n
j
xj
整数问题的松弛问题：
判断题：整数问题的最优 函数值总是小于或等于其 松弛问题的最优函数值。
n a ij x j b i ( i 1 . 2 m ) ( LP ) j 1 x 0 , ( j 1 .2 m ) j
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 2 ) x 1 4 x 2 1 x1 , x 2 0 且 为 整 数
现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。
LP x1=18/11, x2=40/11 Z(0) ＝19.8
⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
3
⑴x
1
x2 2
(18/11,40/11)
⑶
x1 4
3
x1 5 x 2 Z
x1
先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取x1 ≤1, x1 ≥2，有下式：
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 1) x1 4 x 1 1 x1 , x 2 0 且 为 整 数
x1≤1 LP1 x1=？, x2=？ Z(1) ＝？ x1≥2 LP2 x1=？, x2=？ Z(2) ＝？
先求（LP1）,如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 1) x1 4 x 1 1 x1 , x 2 0 且 为 整 数
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
记为（LP）
用图解法求（LP）的最 优解，如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
A 3 B
⑴x
1
x2 2
⑶
x1 4
j
xj
整数问题的松弛问题：
a ij x j b i ( i 1 .2 m ) ( L P ) j 1 x 0 ,( j 1 .2 n ) j
n
max Z
c
j 1
n
j
xj
考虑纯整数问题：
n a ij x j b i ( i 1 . 2 m ) ( IP ) j 1 x 0 , ( j 1 . 2 m ) 且为整数 j
⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
A 3
⑴x
1
x2 2
⑶
x1 4
1
1
3
x1 5 x 2 Z
x1
先求（LP1）,如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 1) x1 4 x 1 1 x1 , x 2 0 且 为 整 数