8薄板弯曲问题的有限元法

单元刚度矩阵
F =
e
∫∫
T
B M dxdy
T
M = D f Bδ
F =
e
e
e
∫∫
B D f Bdxdy ⋅ δ
T
ຫໍສະໝຸດ Baidu
e
K = ∫∫ B D f Bdxdy
荷载的处理
当薄板承受一般荷载作用时，可将每一种荷 载分解为两个荷载，分别处理，求应力叠加。 对于非结点的横向荷载，利用虚功原理转化 为等效结点荷载。
弹性薄板三角形（T9）单元
同平面问题一样，对于复杂边界条件，三角 形单元更理想。 θx1 1 位移模式的选取
y
θy1
x 3
1、直角坐标系下的位移模式方案
z
w1 2
三角形单元有9个结点位移， 由帕斯卡三角形 可知，要达到完整三次多项式要10项，而舍去 任意一三次项将无法保证坐标不变性。教材上 介绍了多种处理的方案并指出了他们的缺点。 2、 Zienkiewicz(监克维奇)提出了面积坐标位 移模式
l =0 m = −1 l =0 m =1
应力边界
说明
−σ y = f y (x) −τ yx = fx (x) 应力等于 负向面力
应力等于 σ y = f y (x) τ yx = fx (x) 正向面力
下边界
l = −1 左边界 m=0
右边界
−σ x = fx ( y) −τ xy = f y ( y) 应力等于 负向面力
2011.11.28
薄板弯曲问题
y
平面应力： = τ = τ = 0 σz xz yz
z
x
与平面应力问题 不同，薄板弯曲问题 是具有图示几何特征 的结构在横向荷载作 用下的分析。
弹性薄板基本概念
所谓薄板是指板厚h比板 最小尺寸b在如下范围的平 1 1 h 1 1 板 ~ < < ~
100 80 b 8 5
α=A δ
−1
e
几何矩阵
e
e
κ = Baα = Ba A δ = Bδ
−1
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
物理方程
挤压应力引起的形变可以略去不计
1 ε x = σ x − μσ y E 1 ε y = σ y − μσ x E 1 2(1 + μ ) γ xy = τ xy = τ xy G E
u | z =0 = v | z =0 = 0
∂w ∂w 薄板的中平面，在薄板弯曲后，面上各点 u = −z v = −z w = w( x, y ) 没有平行于中平面的位移； ∂x ∂y
位移函数
w( x, y ) = α1 + α 2 x + L + α12 xy
3
= [ f ( x, y )]α
2
⎡εx ⎤ ⎢ ⎥ ε = ⎢εy ⎥ = κ ⋅ z ⎢γ xy ⎥ ⎣ ⎦
弯扭变形列阵
几何方程
⎧∂2w ⎪ 2 = 2α 4 + 6α 7 x + 2α 8 y + 6α11 xy ∂x ⎪ 2 ⎪∂ w − κ = ⎨ 2 = 2α 6 + 2α 9 x + 6α10 y + 6α12 xy ⎪ ∂x ∂2w 2 2 ⎪ = α 5 + 2α 8 x + 2α 9 y + 3α11 x + 3α12 y ⎪ ∂x∂y ⎩
*T *T
{δ } F = ∫∫ { }
T *
⎛ T ⎜ 12 * κ M⎜ 3 ⎜h ⎝
∫
h ⎞ 2 z 2 dz ⎟dxdy h ⎟ ⎟ − 2 ⎠
虚功方程
{δ } F = ∫∫ {κ } M dxdy
*T *T
{δ }
* eT
F =
e
{δ } ∫∫
∫∫
T
* eT
B M dxdy
T
F =
e
B M dxdy
τ xy dydz σ x dydz
∫
σ y zdxdz z
由图可得
∫
M =∫
' x
' y
h/2
- h/2
τ yx zdxdz
h/2 - h/2
∫y
h/2
- h/2
σ x zdydz
∫
h/2
- h/2
x τ xy zdydz
τ xy dydz σ x dydz
∫
h/2
σ y zdxdz z
弯矩 扭矩
弹性薄板三角形（T9）单元
1.直角坐标下单元位移模式： Tocher方案： 2 2 w = a1 + a2 x + a3 y + a4 x + a5 xy + a6 y
+ a7 x 3 + a 8 (x 2 y + x y 2 ) + a 9 y 3
当▲单元有两边分别平行于x轴和y轴时，上述 位移模式中的待定系数将无法确定，因此离散 时，网格划分有局限性。 Adini方案：
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
几何方程
⎫ ∂u ∂ w = −z 2 εx = ⎪ ∂x ∂x ⎪ 2 ∂v ∂ w ⎪ ε y = = −z 2 ⎬ ∂y ∂y ⎪ 2 ∂v ∂u ∂ w⎪ = −2 z γ xy = + x ∂y x∂y ⎪ ∂ ∂ ⎭
表面应力列阵
3
6 σs =σ | h= ± 2 M z =± h 2
弹性薄板基本知识
对于各向同性体，弹性矩阵： ⎡ 1
D' = E 1− μ ⎢μ 2 ⎢ ⎢0 ⎣ 1) 各向同性板抗弯刚度： h3 D = D 12
μ
1 0
'
⎤ ⎥ ⎥ (1 − μ ) / 2 ⎥ ⎦ 0 0
2) 正交各向异性板抗弯刚度：⎡ D
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
∂w = εz = 0 ∂z
w = w( x, y )
位移函数
薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄 板弹性曲面的法线；
γ xz = γ yz = 0
∂w ∂u + =0 ∂x ∂z
∂w ∂v + =0 ∂y ∂z
位移函数
∂u ∂w =− ∂z ∂x ∂w u = −z + f1 ( x, y ) ∂x ∂v ∂w =− ∂y ∂z ∂w v = −z + f 2 ( x, y ) ∂y
右边界条件： 右边界条件
y
σ x | x =b = 0 τ xy |x=b = 0
薄板三角形单元
位移模式 三角形单元能较好地适应斜边界，实际中广 泛应用。单元的结点位移仍然为结点处的挠度wi 和绕x，y轴的转角θxi、θyi，独立变量为wi。三 角形单元位移模式应包含9个参数。若考虑完全 三次多项式，则有10个参数: 若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一 项。无法保证对称。经过许多研究，问题最后在 面积坐标下得以解决。
[ [
] ]
E (ε x + με y ) σx = 2 1− μ E (ε y + με x ) σy = 2 1− μ E τ xy = γ xy 2(1 + μ ) E 1− μ = ⋅ ⋅ γ xy 2 1− μ 2
物理方程
⎡ ⎡σ x ⎤ ⎢1 E ⎢ ⎢ ⎥ σ = ⎢σ y ⎥ = μ 2 1− μ ⎢ ⎢τ xy ⎥ ⎢0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ μ 0 ⎥⎡ ε x ⎤ ⎥⎢ ε ⎥ 1 0 ⎢ y⎥ ⎥ 1 − μ ⎢γ ⎥ ⎥ ⎣ xy ⎦ 0 2 ⎦
薄板弯曲问题的有限元法 离散化
离散化 是指对连续 结构进行剖 分。
单元分析
单元分析 的任务就是要 建立单元结点 处力学参数之 间的关系。
整体分析
整体分析 的任务是保证 结构从离散状 态恢复原状所 必需的。
薄板弯曲问题的有限元法 离散化
各单元之间只在结点处连接；单元的形 状，一般采用三角形、矩形或多边形。
⎢ D = ⎢ D1 3 E xh ⎢ 0 D 式中： x = 1 2 (1 − μ μ ) ; ⎣ 1 2
Dy = E yh3 1 2 (1 − μ 1 μ 2 ) ; D xy
x
D1 Dy 0
0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ D xy ⎥ ⎦
Gh3 = ; D1 = μ 2 D x 12
内力与应力的关系
M = Dfκ
μ
1 0
(
)
3
⎡ ∂2w ⎤ ⎤⎢ − 2 ⎥ x 0 ⎥ ⎢ ∂2 ⎥ ⎥⎢ − ∂ w ⎥ 0 ⎢ 2 ⎥ ⎥ 1 − μ ⎥ ⎢ ∂y2 ⎥ ⎢− 2 ∂ w ⎥ 2 ⎦ ⎢ ∂x∂y ⎥ ⎣ ⎦
h M = Dκ 12
内力与应力的关系
弹性矩阵
h M = Dκ = D f κ 12 12 σ = Dz ⋅ κ = 3 zM h
薄板弯曲问题的有限元法 单元分析
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
结点位移
三个位移分量：
⎡ ⎛ ∂w ⎞ ⎛ ∂w ⎞ ⎤ δ i = ⎢ wi | ⎜ ⎟ | −⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ∂y ⎟ 挠度、绕X轴的转角、绕Y轴的转角 ⎢ ⎝ ⎠i ⎝ ∂x ⎠i ⎥ ⎣ ⎦
∂w ⎡ ∂f (x, y ) ⎤ =⎢ θx = ⎥α ∂y ⎣ ∂y ⎦
∂w ⎡ ∂f (x, y ) ⎤ θy = − = ⎢− ⎥α ∂x ⎣ ∂x ⎦
位移函数
δ = Aα
e
α=A δ
−1
e
w( x, y ) = [ f ( x, y )]α = [ f ( x, y )]A δ
−1
e
薄板弯曲问题的有限元法
σ = Dε = Dz ⋅ κ
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
内力与应力的关系
薄板内力微元体如图所示。
∫
h/2
- h/2
τ yx zdxdz
h/2 - h/2
∫y
h/2
- h/2
σ x zdydz
∫
h/2
- h/2
x τ xy zdydz
l =1 m=0
σ x = fx ( y) τ xy = f y ( y) 应力等于
正向面力
注意 事项 与边界 平行的 正应力 σx 不 出现 与边界 平行的 正应力 σy 不 出现
q ql l y h/2 h/2 l ql x
0
上下边界条件： σ y | y= h = 0
2
σy |
h y =− 2
= −q =0
τ yx |
h y= 2
=0
τ yx |
h y =− 2
o
x
A
o
x
A
l l
y
y
u |(0,0) = 0 v |(0,0) = 0 v |(l ,0) = 0 u |(l ,0) = 0 v |(l ,0) = 0
∂v |(l ,0) = 0 ∂x
o
ρg
↓
b
h
x 左边界条件： 左边界条件 σ x |x=0 = − ρ gy τ xy |x=0 = 0
κ = Bδ
M = D f B δ = Sδ
e e
e
S为内力转换矩阵，大小为3×12
内力与应力的关系
由B和S可知，单元内任一点的变形和内力 都是坐标的函数。
M = D f B δ = Sδ
e
将结点坐标代入上式，
e
M =S δ
e
e e
Se大小为12×12
虚功方程
{δ } F = ∫∫∫ {ε } σdxdydz *T * T 12 {δ } F = ∫∫∫ z{κ } h 3 zMdxdydz
w v y z
u
x
平分厚度的平面称中面。
中面
板面位移如图所示。 当挠度w小于板厚h时，克希霍夫(G.kirchhoff) 假定成立：
薄板弯曲问题的有限元法
基本假设（小挠度）
1、薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩； 2、薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄板 弹性曲面的法线； 3、薄板的中平面，在薄板弯曲后，面上各点没 有平行于中平面的位移； 4、挤压应力引起的形变可以略去不计。
w = a1 + a2 x + a3 y + a4 x + a5 y 3 2 2 3 + a 6 x + a7 x y + a 8 x y + a 9 y
2
2
弹性薄板三角形（T9）单元
1.直角坐标下单元位移模式： Adini方案： ∂w 2 舍去了二次项xy，致使常扭率 ∂x∂y 无法保证，单 元过刚、位移偏小，因此分析结果只有一阶精度。 Bell方案： w = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 xy + a6 y 2 + a7 x 3 + a 8 x 2 y + a 9 x y 2 + a 10 y 3 增加单元内部位移参数——三角形形心挠度。 整体分析前需要消去内部自由度（静力凝聚）， Zienkiewicz指出这种单元不能保证收敛。
结点力
三个结点力分量：
δ i = Wi | Txi | Tyi 竖向力、绕X轴的力偶、绕Y轴的力偶
[
]
薄板弯曲问题的有限元法 单元分析
F =K δ
e e
e
单元刚度矩阵，为一12×12的方阵。
薄板弯曲问题的有限元法 单元分析
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
边界条件
固定边： 挠度＝0 边线转角＝0 法线转角＝0 对称轴： 法线转角＝0 简支点： 挠度＝0 简支边： 挠度＝0 边线转角＝0
特殊边界面上应力边界条件式的简化
τ yx
h 2 h 2
σy
τ xy σx
o
σy
l 2
τ yx
l 2
τ xy
σx
x
y
特殊边界面上应力边界条件式的简化
名称
上边界
方向 余弦
M =∫
M
' xy
- h/2 h/2
σ x zdzdy
σ y zdzdx
M
' yx h/2
= ∫ τ xy zdzdy
- h/2
- h/2 h/2
= ∫ τ yx zdzdx
- h/2
内力与应力的关系
⎡Mx ⎤ 3 Eh ⎥ ⎢ M = ⎢My ⎥ = 2 12 1 − μ ⎢ M xy ⎥ ⎦ ⎣ ⎡ ⎢1 ⎢μ ⎢ ⎢0 ⎣