直线和圆锥曲线的交点及弦长

直线和圆锥曲线的位置关系

例32. AB 为过椭圆22

22b

y a x +=1中心的弦，F (c ，0)为椭圆的右焦点，则△AFB 的面积最大值是( )

(A)b 2 (B)ab (C)ac (D)bc

五、圆锥曲线综合问题

直线与圆锥曲线的位置关系

⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定

直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.

直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.

⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长

直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长

12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.

当直线斜率不存在是,则12AB y y =-.

注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.

3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

例32. AB 为过椭圆22

22b

y a x +=1中心的弦，F (c ，0)为椭圆的右焦点，则△AFB 的面积最大值是( )

(A)b 2

(B)ab (C)ac (D)bc

例33 若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）

()A 315(-,)315 ()B 0(,)3

15 ()C 315(-,)0 ()D 315(-,)1-

例34. 若双曲线x 2－y 2=1右支上一点P (a , b )到直线y =x a ＋b 的值是

( ).

1()2A - 1()2B 1()2C -或12

(D )2或－2

例35 抛物线y =x 2上的点到直线2x - y =4的距离最近的点的坐标是( )

11()(,)24A ) (B)(1,1) (C) (4

9,23) (D) (2,4)

例36 抛物线y 2=4x 截直线2y x k =+所得弦长为35，则k 的值是( )

(A )2 (B)-2 (C)4 (D)-4

例37 如果直线)1(-=x k y 与双曲线422=-y x 没有交点，则k 的取值范围是 .

例38 已知抛物线22x y =上两点),(),,(2211y x B y x A 关于直线m x y +=对称，且

2

121-=x x ，那么m 的值为 .

四、求点的轨迹问题

例25. B

例26. D

例27. C

例28. A

例29. B

例30. 9x +16y =0 (椭圆内部分)

例31. y ２＝－8x

五、圆锥曲线综合问题

例32 解析：∵S △AFB =2S △AOF ，∴当点A 位于短轴顶点处面积最大.答案：D

例33. D

例34. B

例35. B 数形结合估算出D

例36 D

例37.k<332332>-

k 或 例38. 2

3 例39 解：设AB ：y=-2

1x+m,代入双曲线方程得11x 2+4mx -4(m 2+1)=0, 这里△=(4m )2-4×11［-4(m 2+1)］=16(2m 2+11)＞0恒成立， 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为M (x 0,y 0),则x 1+x 2=-

11m 4，∴x 0=-11

2m ,y 0=-21x 0+m=1112m , 若A 、B 关于直线y =2x 对称，则M 必在直线y=2x 上，

∴1112m =-11

4m 得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=-21x 与双曲线的交点的A 、B 必关于直线y=2x 对称.

∴存在A 、B 且求得A (

112，-111)，B (-112，111)

例39 双曲线3x 2-y 2=1上是否存在关于直线y=2x 对称的两点A 、B?若存在，试求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.

1．圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线C ∶f(x ，y)=0与直线l ∶y=kx+b 相交于A(11,y x )、B(22,y x )两点，则弦长|AB|为：

(2)若弦AB 过圆锥曲线的焦点F ，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．

例1 过抛物线24

1x y -=的焦点作倾斜角为α的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，旦|AB|=8，求倾斜角α．

分析一：由弦长公式易解．解答为：

∵ 抛物线方程为x2=-4y ， ∴焦点为(0，-1)．

设直线l 的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．

将此式代入x2=-4y 中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x 2=-4，x1+x2=-4k ．

由|AB|=8得:()()41441822-⨯⨯--⋅

+=k k ∴1±=k 又有1tan ±=α得:4π

α=或4

3πα=. 分析二:利用焦半径关系.∵2,221p y BF p y AF +-=+

-= ∴|AB|=-(1y +y 2)+p=-[(kx 1-1)+(kx 2-1)]+p=-k(1x +x 2)+2+p ．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成．

2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题

在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x ，y)的取值范围．

例2已知2x +4(y-1)2=4，求：(1)2x +y 2的最大值与最小值;(2)x+y 的最大值与最小值． 解一：将2x +4(y-1)2=4代入得：2x +y 2=4-4(y-1)2+y 2=-3y 2+8y

由点(x ，y)满足2

x +4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y ≤2．

当y=0时，(2

x +y 2)min=0． 解二：分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y ，则将此代入2x +4(y-1)2=4中

得关于y 的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．

令x+y=u ， 则有x=u-y,代入2x +4(y-1)2=4得：52y -(2u+8)y+2

u =0．

又∵0≤y ≤2，(由(1)可知) ∴[-(2u+8)]2-4×5×2u ≥0．