专训4 二元一次方程组的五种特殊解法

专训4 二元一次方程组的五种特殊解法

名师点金：解二元一次方程组的思想是“消元”，是一个变“未知”为“已知”的过程．解二元一次方程组的过程的实质是转化过程，因此解方程组时，要根据方程组的特点，灵活运用方程组的变形的技巧，选用较简便的方法来解．

引入参数法解二元一次方程组

1．用代入法解方程组：

⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋y 4＝0，① 2（x ＋y ）－3（2y －x ）＝62.②

特殊消元法解二元一次方程组

类型1 方程组中两未知数系数之差的绝对值相等

2．解方程组：⎩

⎪⎨⎪⎧2 015x ＋2 016y ＝2 017，①2 016x ＋2 017y ＝2 018.②

类型2 方程组中两未知数系数之和的绝对值相等

3．解方程组：⎩

⎪⎨⎪⎧13x ＋14y ＝40，①14x ＋13y ＝41.②

利用换元法解二元一次方程组

4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋y ）＋4（x －y ）＝20，x ＋y 4

－x －y 2＝0.

同解交换法解二元一次方程组

5．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，3x －y ＝5与方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝16，4x －7y ＝1

的解相同，求(a －b)2 018的值．

运用主元法解二元一次方程组

6．已知⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －3z ＝0，x －3y －z ＝0

(x ，y ，z 均不为0)，求xy ＋2yz x 2＋y 2－z 2的值．

答案

1．解：由①，得x 3＝－y 4

. 设x 3＝－y 4

＝k ，则x ＝3k ，y ＝－4k. 将x ＝3k ，y ＝－4k 代入方程②，得2(3k －4k)－3[2×(－4k)－3k]＝62.

解这个方程，得k ＝2.所以x ＝6，y ＝－8.

所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－8.

技巧点拨：本题利用引入参数法解方程组．当方程组中出现x a ＝y b

的形式时，常考虑先用参数分别表示出x ，y 的值，然后将x ，y 的值代入另一个方程求出参数的值，最后将参数的值回代就能求出方程组的解．

2．解：②－①，得x ＋y ＝1.③

由③，得x ＝1－y.④

把④代入方程①，得2 015(1－y)＋2 016y ＝2 017.

解这个方程，得y ＝2.

把y ＝2代入方程③，得x ＝－1.

所以原方程组的解为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 点拨：观察方程①和②的系数特点，数值都比较大，如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误．根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便．

3．解：①＋②，得27x ＋27y ＝81.化简，得x ＋y ＝3.③

①－②，得－x ＋y ＝－1.④

③＋④，得2y ＝2，y ＝1.

③－④，得2x ＝4，x ＝2.

所以这个方程组的解是⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 点拨：方程组中x 的系数分别为13，14，y 的系数分别为14，13.当两式相加时，x 和y 的系数相等，化简即可得到x ＋y ＝3；当两式相减时，x 和y 的系数互为相反数，化简即可得到－x ＋y ＝－1.由此达到化简方程组的目的．

4．解：设x ＋y ＝m ，x －y ＝n ，则原方程组可转化为⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝20，m 4－n 2

＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2.

所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.所以原方程组的解为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. 5．解：依题意有(1)⎩

⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1，(2)⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝16. 解方程组(1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，代入(2)，得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6. 所以(a －b)2 018＝(5－6)2 018＝1.

6．解：将原方程组变形，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －3z ＝3y ，x －z ＝3y.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ，z ＝－9y.

所以xy ＋2yz x 2＋y 2－z 2＝（－6y ）·y ＋2y·（－9y ）（－6y ）2＋y 2－（－9y ）2＝－24y 2－44y 2＝611

. 点拨：本题不能直接求出x ，y ，z 的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数．