【课件】新课标人教A版数学必修3：1.3算法案例(一)

秦九韶算法
把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成如下形式：
f x
a xn n
a xn1 n 1
ax 1
a 0
a x n1 n
a xn2 n 1
a 1
x a0
a xn2 n
a xn3 n 1
a2
x a1
x a0
aΒιβλιοθήκη Baidu
n
x
a
n 1
x
a
n2
x
a 1
程序： INPUT “m，n=”;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
更相减损术
同理：a,b,c为正整数，若a-b=c，则（a,b）=(b,c)。
“更相减损术”（也是求两个正整数的最大公约数的算法） 步骤：
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。 若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
想一想，如何求8251与6105的最大公约数？
辗转相除法
例1、求8251和6105的最大公约数。
解：a a 8251=6105×1+2146 6105=2146 ×2+1813 2146=1813 ×1+333 1813=333 ×5+148 333=148 ×2+37 148=37 ×4
（8251，6105） =（6105，2146） =（2146，1813） =（1813，333） =（333，148） =（148，37）
输出a×2i
DO IF b>a THEN
t=a a=b b=t END IF a=a-b LOOP UNTIL a=b PRINT a*2^i END
结束
案例2、秦九韶算法
秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们加起来。
开始 输入a,b
i=0
程序:
INPUT “a,b”;a,b i=0 WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0
a=a/2 b=b/2 i=i+1 WEND
i=i+1
Y
a MOD 2=0且b MOD 2=0?
a=a/2,b=b/2
N
b>a?
Y
N
t=a,a=b,b=t
a=a-b
N a=b? Y
输 入 n ， an ， x 的 值
v=an
i=n-1
INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1
i=i-1 WHILE i>=0
v=vx+ai INPUT “ai=”；b
i≥0？ 否
输入ai 是
v=v*x+b i=i-1 WEND
输出v
PRINT v
结束
END
作业： P48 习题1.3 A组第1题
63-35=28
=（35，28）
35-28=7
=（28，7）
28-7=21 21-7=14 14-7=7
=（21，7）
=（14，7）
=（7，7） = 7
所以，98和63的最大公约数等于7。
练习：用更相减损术求下列两数的最大公约数：
（1）（225，135） 45 （2）（98，196） 98 （3）（72，168） 24 （4）（153，119） 17
画出框图并编写程序。
作业：
1（1）1239=
（7）；
（2）213（4）=
（3）；
（3）1010111（2）=
（4）。
1.求 1 1 1 1 的值，画出框图并编写程序。
1 2 23 3 4
20 21
2.求 1 1 1 1 的值，画出框图并编写程序。
1 2 23 3 4
n (n 1)
4.给出某班50名学生的数学测试成绩,60 分及60分以上的为及格,要求统计及格人数、 及格人数的平均分、全班同学的平均分，
得：18和24最大公约数是：2×3＝6
短除法
求以下几组正整数的最大公约数。
(注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n）=n。用（m,n）来表示
m和n的最大公约数。)
（1）（18，30） 6； （3）（63，63） 63；
（2）（24，16） 8； （4）（72，8） 8；
（5）（301，133 ） 7；
=37
定理： 已知m,n,r为正整数，若m=nq+r（0≤r<n） （即r=m MOD n）,则（m,n)=(n,r)。
练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数： （1）（225，135） 45 （2）（98，196） 98 （3）（72，168） 24 （4）（153，119） 17
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤， 这实际上是一个循环结构
一位美国的幼儿园老师为了教育孩子火海逃生，引导学生做了一个非 非常有趣的游戏──“火海逃生”。老师将许多乒乓球放进瓶子，只露出 系着的棉线。花瓶代表大楼，细细的瓶颈是惟一的出口，七只乒乓球则 是楼里的居民，要求当大楼突然起火时，全体居民能在短时间里安全逃 离。七名学生兴奋地上场了，他们各执一根棉线，报警器一响，都以最 快的反应拉扯绳子，可一个“人”也没能脱离火海，原来，七只乒乓球都 卡在了瓶口。又开始了第二次实验？
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较 小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所 得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公 约数。
例、用更相减损术求98与63的最大公约数 （自己按照步骤求解）
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。
98-63=35
（98，63） =（63，35）
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ① 输入两个正整数m和n(m>n)； ② 计算m除以n，得余数r； ③更新被除数和除数：m=n，n=r。 ④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果m，否则转返回 第②步继续执行。
开始 输入m,n
r=m MOD n
m=n
n=r N
r=0? Y
输出m 结束
第k步: vk=vk-1x+an-k
设计一个五次多项式的秦 九韶程序框图：
开始
输入f(x)的系数： a0,a1,a2,a3,a4a5
输入x
n=1 v=a5
n<=5? N
输出v
结束
n=n+1
v=vx+a5-n
Y
求一个n次多项式的秦九韶算法 该程序框图对应的程序:
程序框图：
开始
INPUT “n=”；n
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
算法二：秦九韶算法
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
例1、已知一个5次多项式为 f(x)=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。
练习、已知多项式 f(x)=x5+5x4+10x3+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。
x
a
0
第一步：计算最内层anx+an-1的值，将anx+an-1的 值赋给一个变量v1(为方便将an赋给变量v0); 第二步：计算（anx+an-1)x+an-2的值，可以改写 为v1x+an-2，将v1x+an-2的值赋给一个变量v2； 依次类推，即每一步的计算之后都赋予一个新值 vk，即从最内层的括号到最外层的括号的值依次 赋予变量v1,v2,…，vn.第n步所求值vn=vn-1x+a0 即为所求多项式的值。
这几个学生面面相觑，只见其中一个小声跟同伴们商量了几句，这
回大家没有各顾各地拉绳子，而是由左到右依次地拉。果然，报警
器的尾音还没结束，七位“居民”已离开了出口，转移到了安全地带。
运筹帷幄，决胜千里
算法案例之求最大公约数
例、求18与24的最大公约数：
解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 1 2 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。