高一数学《三角函数》总复习资料完美版

高一数学《三角函数》总复习资料

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3.终边相同的角的表示：

（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角

1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：25-；5

36

π-

） （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上)?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .

（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：

,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6

π

的

终边关于直线x y =对称，则α＝____________。（答：Z k k ∈+

,3

2π

π）

4、α与2

α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则

2

α

是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2

11||22

S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如

已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22

cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离

是0r =

>，那么sin ,cos y x r r

αα=

=，()tan ,0y

x x

α=

≠,三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 如已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的

值为＿＿。（答：7

13-）；

7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。

如（1）若

4

2

π

π

θ<<

，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为

_____(答：sin cos tan θθθ<<)；

（2）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______ （答：sin tan ααα<<）； y T

A x

α

B S

O M P

8.

9.（1）2

2

sin cos 1,αα+= （2）sin tan .cos α

αα

=

同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如 （1）已知53sin +-=

m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝____（答：125

-）； （2）已知11tan tan -=-αα，则

α

αα

αcos sin cos 3sin +-＝____； 2cos sin sin 2++ααα＝_________（答：35-；5

13

）；

（3）已知a = 200sin ，则

160tan 等于

A 、21a a

-- B 、21a

a

- C 、a a 21-- D 、a a 2

1-（答：B ）；。

10.三角函数诱导公式（2

k

πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶

数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；(2)转化为锐角三角

函数。

如（1）97cos

tan()sin 2146

ππ

π+-+的值为________（答：23-）； （2）已知5

4)540sin(-=+α

，则=-)270cos( α______，若α为第二象限角，则

=+-+-)

180tan()]360cos()180[sin(2

ααα

________。（答：54-；1003-） （3）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin

f 的值为______（答：－1）

11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ

αβαβαβααα=±=±???→=

()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2

1cos2sin 2

2tan tan 21tan 令 ＝

＝

αβ

αβαβαβααα

αααβααβααβα

αα

αα

=±

=???→=-↓=-=-±±=

?-↓=

-如（1）下列各式中，值为1

2

的是

A 、1515sin cos

B 、22cos sin ππ

-

C 、2

2251225tan .tan .-D （答：C ） 12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观

察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

①巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，

2()()αβαβα=+--，22

αβ

αβ++=?

，

(

)()

222αβ

β

ααβ+=-

-

-

等）.

如（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（答：3

22）；

（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2

23

sin()αβ-=，

求 cos()αβ+的值（答：490

729

）；

（3）已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为___（答：7

25

）；

②三角函数名互化(切割化弦)，

如

求值sin 50(13tan10)+（答：1）；

③公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。 如已知A 、B 为锐角，

且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝__ （答：2

-

）； ④三角函数次数的降升(

降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，2

1cos 2sin 2

αα-=与升幂

公式：21cos 22cos αα+=，2

)。

如(1)若32(,)αππ∈为_____（答：sin 2α）；

（2）函数2

5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________（答：512

12

[k ,k ](k Z )π

π

ππ-

+

∈） ⑤常值变换主要指“1”的变换（22

1sin cos x x =+tan sin 4

2

ππ===

等），

如已知tan 2α=，求22

sin sin cos 3cos αααα+-（答：35

）.

13、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在

的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b

a

θ=

确定)在求最值、化简时起着重要作用。如

若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）； 14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，

3,,

,22

2

π

π

ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

15、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： ①定义域：都是R 。

②值域：都是[]1,1-，对sin y x =，当()22

x k k Z π

π=+

∈时，y 取最大值1；当

()322

x k k Z π

π=+

∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。

如（1）若函数sin(3)6

y a b x π

=-+

的最大值为23，最小值为21

-，则=a __，=b ＿（答：1

,12

a b ==或1b =-）；

（2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2,

2[π

π-∈x ）的值域是____（答：[－1, 2]）；

（3）函数2()2cos sin()3

f x x x x π

=+

sin cos x x +的最小值是_____，此时x

＝__________（答：2；()12

k k Z π

π+

∈）。 ③周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和

()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||

T πω=

。

如(1)若3sin

)(x

x f π=，则(1)(2)(3)(2007)f f f f ++++＝___）；

(2) 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4

sin x -的最小正周期为____（答：π）； ④奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，

对称轴是直线()2

x k k Z π

π=+

∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是