高等数学 空间曲面和曲线

类似地: 可定义空间曲线在其它
C
坐标面上的投影. yOz面上的投影曲线
R( y, z) 0 x 0
xOz面上的投影曲线
T ( x , z ) 0 y 0
例7 求椭圆抛物面 2 y x z 与抛物柱面
2 2
2 x
2
z 的交线关于xOy面的投影柱面和
在xOy面上的投影曲线方程. 解 交线方程为
2q
z ( p 与q 同号)
椭圆抛物面
z
o x
y
x
o
y
p 0,
q 0
p 0,
q 0
特殊地: 当 p q 时, 方程变为
x
2
z

y
2
z
旋转抛物面
O
2p
2p
y
x
例如
与
z 2 x y
2
2
pq0
z 1 x y
2
2
分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面.

x
2
表示怎样的曲线?
解
z
a x y
2 2
z
2
上半球面 (如图)
a a 2 x y 2 4
2 2
圆柱面 (如图) 交线为蓝色部分 (如图)
x
O
y
x x(t ) y y(t ) z z(t )
称为空间曲线的参数方程
当给定 t t 1时 ,
(2) yoz 面上的抛物线 y 2 p z 绕z 轴;
x y 2 pz
2 2
旋转抛物面
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线. 母 线
L
C
准线
z
柱面举例
y x
o
2
z
平面
o
y
x
y
x
y x
抛物柱面

F ( x, y, z) 0 G ( x, y, z) 0
z
S2 S 1
空间曲线的一般方程
O
C
y
x
特点: 曲线上的点都满足方程,
满足方程的点都在曲线上, 不在曲线上的点不能 同时满足两个方程.
x2 y2 1 例4 方程组 2 x 3z 6
表示怎样的曲线?
解
z y cot
z z
2
圆锥面方程
z x y cot
2 2

O
x
y
x
O
y
圆锥面的方程也可写成
z
2
a (x y )
2
2
2
( a cot 0 )
圆锥面的几种常用形式
z x y
2 2 2 2
与
z 1
x y ,z
2( x y )
2 2
z
取时间t为参数, 动点从A点出发, 经过t时间, 运动到M点. M在xOy面的投影 M ( x , y , 0 )

x a cos t
y a sin t
M
t
x
O

A

a
z vt
螺旋线的 参数方程
M
y
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
所求方程为 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R 2 .
特别地, 球心在原点的球面方程为
x y z R
2 2 2 2
球面的一般方程为
x y z Ax By Cz D 0
2 2 2
经配方, 可化为球面的标准方程.
例如
而曲面 S 称为方程的图形.
例1 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ), 半径为 R
的球面方程. 解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
| MM
2
由题意，有
即
0
| R ,
2 2
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
f ( y, z ) 0
y
将
z1 z ,
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y1
x y
2
2
代入
x
o
f ( y1 , z1 ) 0
得所求方程为
f ( x y , z ) 0
2 2
同理：yOz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0
绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f ( y, x z )0
现求 yOz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0
绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
设 M ( x , y , z )是旋转曲面上任意一点 ,
(1 ) z z 1
z
(2) 点 M到 z轴的距离
d x y | y1 |
2 2
M M
d
1
( 0 , y1 , z1 )
2 2
xOz 坐标面上的已知曲线 f ( x , z ) 0
绕 x 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f ( x, y z )0
2 2
例2 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周
所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 ( 0

) 称为
圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋 转轴为z轴, 半顶角为 的圆锥面的方程. 解 yOz 面上直线方程为
消去变量z 后得：H ( x , y ) 0
C
——曲线关于xOy的投影柱面. 投影柱面的特征： 此柱面必包含曲线C, 以曲线C为准线、 母线垂直于所投影的坐标面.
空间曲线在xOy 面上的投影曲线(或称投影)
(即为投影柱面与xOy 面的交线)
H ( x , y ) 0 (即为曲线关于xOy面的投影柱面) (即为xOy 面) z 0
就得到曲线上的一个点
( x 1 , y 1 , z 1 ),
随着参数的变化可得到曲线上的
全部点.
例6 如果空间一点M 在圆柱面 x y a 上以
2 2 2
角速度ω 绕z 轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升 ( 其中 , v 都是常数 ), 那末点M 构 成的图形称为螺旋线. 试建立其参数方程. 解
x y z 2z
2 2 2
配方后得 例如 z
x y ( z 1) 1
2 2 2
1 x y
2
2
与 z 1
1 x y
2
2
分别表示上、下半球面.
定义 一条平面曲线 绕其平面上的一条直线
旋转一周所成的曲面, 称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴. 此曲线称母线. 为方便, 常把曲线所在 平面取作坐标面, 旋转轴取 作坐标轴. 母线 轴
2 y2 x 2 z 2 2 x z
消去z 得投影柱面
在 xOy 面上的投影为
x y 1,
2 2
x2 y2 1 z 0
例8 设一立体, 由上半球面 z 和锥面
的投影. 解 半球面和锥面的交线为
消去 z 得投影柱面
z 3( x y )
2 2
x y 1 表示圆柱面，
2 2
2 x 3 z 6 表示平面，
z
x y 1 2 x 3z 6
2 2
C
2
交 线 为 椭 圆
y
O
1
x
例5
z a2 x2 y2 2 方程组 2 a a 2 x y 2 4

4 x y
2
2
所围成, 求它在 xOy 面上
z C : z
2
4 x y
2 2 2
2
3( x y )
x y
2
1,
x2 y2 1 z 0
则交线 C 在 xOy 面上的投影为
所求立体在
xOy 面上的投影为
x y 1.
2 2
8.3 空间曲面和曲线
8.3.1 空间曲面方程
曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹.
曲面方程的定义： 如果曲面 S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系： (1) 曲面上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面上的点的坐标都不满足方程；
那么, 方程 F ( x , y , z ) 0 就称为曲面S 的方程,

y
2
2p
2q
z ( p 与 q 同号)
双曲抛物面 (马鞍面) 设 p 0, q 0 图形如下：
z
O
y
x
x a
2 2

y b
2 2

z c
2 2
1
z
单叶双曲面
o x y
x a
2 2

y b
2 2

z c
2 2
1
双叶双曲面
o x
y
8.3.2 空间曲线方程
空间曲线C 可看作空间两曲面的交线.
分别表示开口朝上与朝下的半锥面.
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周, 求生成
的旋转曲面的方程． (1) yoz面上的椭圆 绕y 轴旋转 绕z 轴旋转
y a
2 2

2 2 2
z c
2 2
1
2
绕y 轴和z 轴;
2 2 2 2
y a

x z c
2
1 1
x y a
2
2

z c
旋 转 椭 球 面
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ,
在空间直角坐标系中表示平行于z 轴的柱面,
其准线为xOy面上的曲线C. (其他类推)
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
椭球面
x a
2 2

y b
2 2

z c
2 2
1
z
z
O
o
x
x
y
y
x
2

z
y
2
2p