第三节格林公式

[e
L
x
sin y m( x y)] d x (e cos y m) d y
x
Q P m x y
x
y
L
y 2ax x 2
补充有向线段OA，形成闭曲线，满足条件
D
0

L OA
[e sin y m( x y)] dx (e cos y m)dy

OA AB BO
yx
x
dy
P d x Qdy
y2

OA AB BO
xe
y2

OA
xe
y2
dy ye
0
1
d y 1 (1 e 1 ) 2
例3. 计算 L x d y , 其中曲线L是半径为r的圆在第一象限 限部分, 方向顺时针. 解：方法1:用曲线积分法
该方法俗称 “封口法”
关于格林公式小结 （1）“挖洞法” 和 “封口法” 是格林公式应用 中两类常见的典型方法。
Q P （2）当曲线积分中，函数 P 、Q 使得 x y 等于零、常数或比较简单时，要考虑用格林公式。
作业
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
什么叫平面上曲线积分与路径无关？
单连通区域举例
（1）{( x , y ) | x y 0}
2 2 {( x , y ) | x y 4} （ 2）
（3）{( x , y ) | y 0}
（ 1）
（ 2）
（ 3）
复连通区域举例
2 2 {( x , y ) | 1 x y 4} （ 1）
（2）{( x , y ) | 0 x y 4}
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 y
Q P D x y d xd y Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy x y x y D D
1
G A
L3 D3
F
C
D1
D2
D
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 可以直接利用二重积分的计算方法来计算。
本题我们应用格林公式将二重积分化为曲线 积分时,关键是要找到P(x, y)和Q(x, y), 使得
y
B(0,1)
A(1,1
D
并且这样的P,Q在D边界上的曲线积分较简单 y2 经观察 P 0, Q xe 利用格林公式 , 有 o
0
o
y
x
L
xd y yd x xd y yd x L x 2 y 2 l x 2 y 2 2
l
xd y yd x 其中 L 是以 ( 1 , 0 ) 为中心，R 为 参考题：计算 L 4 x 2 y 2 半径的圆周 ( R > 1 ), 取逆时针方向
思考：为什么要用小圆周 x 2 y 2 r 2 去“挖洞” ？
Q P d xd y P d x Q d y 格林公式 x y D L
Q P 若记 x x y P

y Q
则格林公式可表示为
格林公式的应用：
x y dxdy L Pdx Qdy D P Q
（1）利用曲线积分计算平面区域的面积 （2）利用格林公式求曲线或二重积分
面积公式：若取 Q x, P y, 由格林公式
Q P P d x Q d y d x d y x y L D
11 d xd y 2 d xd y 2 A
y
L
y 2ax x 2
0
a
A 2a x
P e x sin y m( x y ), Q e x cos y m , Q P e x cos y (e x cos y m ) m 表达式简单 x y
问题：L不是封闭的曲线，不符合格林公式的条件
例5. 求I 解：
A
D
y
L
o
x
B
L B O O A x dy L x dy x dy x dy x dy L BO OA 在BO上， y = 0 , d y 0, B O x dy 0
在OA上， x = 0 , O A x dy 0, x dy 1 r 2 L 4
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
第十一章
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
三、二元函数的全微分求积
问题的提出
牛顿-莱布尼茨公式
b a f ( x )dx
F (b) F (a )
意义： 定积分可通过其原函数在区间端点上的函数 值来表达 问题：二重积分
f ( x, y) d x d y
针方向, 记 L 和 lˉ 所围复连通区域为 D1 , 对 D1 应用格
林公式 , 得
Q P ( )dxdy 0 x y D1
y
L
l
D1
x
o
r
x r cos 2 终点 l : , 0 起点， y r sin 2 r 2 cos 2 r 2 sin 2 d 2 2
Q 0, P y , 则有 A ydx
L
例1. 设 L பைடு நூலகம்一条分段光滑的闭曲线, 证明 证: 令 P 2x y , Q x 2 , 则
L
2x y d x x 2 d y 0
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0d x d y 0
D
y
D
L
能否表达为某个函数在D的边界 曲线L上的曲线积分？
0
x
区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D , 则称D为平面单连通区域, 否则 称为复连通区域.
D
D
D

单连通区域
复连通区域
复连通区域
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 多连通区域 ( 有“洞”、点洞区域 )

0
r
例4. 计算
其中L为一无重点且不过原点 该方法俗称 “ 挖洞法 。”
y L
D
的分段光滑正向闭曲线.
(1) 当( 0, 0) D 时, xd y yd x Q P ( )dxdy L x 2 y 2 x y D (2) 当 ( 0,0) D 时,
解: 记L所围闭区域为D，
设G是一个区域, P ( x, y )、 Q( x, y )在G内具有一阶连续偏 导数, 如果对于G内任意指定的 两个点A、B及G内从A到B的任 意两条曲线L1与L2 , 都有 :
D D
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D的面积 同理，若取 Q x , P 0, 则有 A L xdy 若取
1 A xd y y d x 2 L
x a cos , 0 2 所围面积 例如, 椭圆 L : y b sin
1 2 (ab cos 2 ab sin 2 ) d ab 2 0
例4. 计算 的分段光滑正向闭曲线.
其中L为一无重点且不过原点
解: 记L所围闭区域为D，
由格林公式知
Q P ( )dxdy x y D
y
L
D
？
o
x
格林公式的条件：P、Q在D上具有一阶连续偏导数
则当x 2 y 2 0时,即 (0,0) D ,
2 2 2 在 D 内作圆周 l : x y r , 取顺时 当(0,0) D 时,
P Q 证: 将格林公式分为: dxdy Pdx， dxdy Qdy D y L D x L
1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 d
x 1 ( y)
y
E D
C
x 2 ( y)
A
B
bx
c
2 ( y ) Q Q d 则 d xd y d y dx D x 1 ( y) x c
0
A
D
y
1 2 L x d y r cos d ( r sin ) 4 r
2
方法2：用格林公式
o
L
B
x
L不是一条封闭的曲线， 补充有向线段BO,OA, 则L+BO+OA为封闭曲线，所围区域记为D，
L B O O A x dy ( Q P )dxdy dxdy 1 r 2
x
m a 2 Q P ( )dxdy mdxdy 2 x y D D m a 2 [e x sin y m( x y)] dx (e x cos y m)dy I OA 2
a
A 2a x
在OA上，y=0，dy=0，x从0变到2a
2a m a 3m a 2 I m xd x 0 2 2 2
2 2
一、 格林公式
域 D 边界L的正向:
域的内部靠左
当观察者在 L 上行走时，D 内在 他近处的部分总在他的左边。 外边界的正向是逆时针 内边界的正向是顺时针
L D
定理1. 设闭区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P d xd y Pd x Qd y ( 格林公式 ) x y D L 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。
1
2 L3
Pdx Qdy
证毕
L Pdx Qdy
(3) 若区域不止由一条闭曲线所围成.
添加直线段 AB,CE.则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA,AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. G 由(2)知 ( Q P )dxdy y D x
L3
{ AB L BA AFC CE
L2
B
D
L1
(
D3
Q P )dxdy x y
BA
2
L
E
0
L2 CB
x
( Pdx Qdy Pdx Qdy ) ( Pdx Qdy Pdx Qdy )
L1
( Pdx Qdy Pdx Qdy ) L L
L3 AC
o
r
A
D1
x
例5. 求I
[e
L
x
sin y m( x y)] d x (e cos y m) d y
x
其中L是以(a, 0)为中心，a为半径的上半圆周，逆时针 方向，m 为常数。 解： 分析 被积函数比较复杂， 无论 L 的方程取什么形式，直接 用曲线积分的方法都比较困难。 故考虑用格林公式
2
E
L EC CGA } ( Pdx Qdy )
3
2 3 1
D
L2
B
A
L1
C F
( L L L )( Pdx Qdy ) Pdx Qdy
L
( L1, L2 , L3 对D来说为正方向 ) 格林公式仍成立
格林公式的实质 : 沟通了沿闭曲线的积分 与二重积分之间的联系.
说明：
Q P d xd y Pd x Qd y x y D L
L3
L1
若D为复连通区域： 则曲线L 应包括内外所有边界 L L1 L2 L3 并且它们对D均取正向。 格林公式的实质：
D
L2
建立了平面上的曲线积分与二重积分的联系， 是牛顿莱布尼茨公式在平面上的推广。 主要用途：实现曲线积分与二重积分之间的转换。 而经常用来将复杂的曲线积分转化为二重积分。
d d c c
o a
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y

CBE
Q( x, y )d y
EAC
Q( x, y )d y Q( x , y )dy L
即 同理可证
①
② ①、②两式相加得:
Q P D x y d xd y L Pd x Qd y
D
P 0, Q x
x
y
D
4
例3. 计算 L x d y , 其中曲线L是半径为r的圆在第一象限 限部分, 方向顺时针. 解：方法2 ：用格林公式 Q P x dy ( )dxdy L BO O A y D x dxdy 1 r 2 4 D