关于“鸡兔同笼”问题的一些思考

关于“鸡兔同笼”问题的一些思考

一、“鸡兔同笼”问题的教学背景

“鸡兔同笼”是中国古代著名趣题之一，大约在1500年前，《孙子

算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：有若干

只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中鸡和兔各有几只？

因为“鸡兔同笼”问题的趣味性和拓展的广泛性，也因为其解题方

法的代表性，因此，使得这类问题频频出现在当今的各种小学数学竞

赛中或各种奥数读本里。在新课改的教材中，“鸡兔同笼”也堂堂正正

地与小学数学新课程“同笼”。其实，无论从哪个角度来说，小学数学

教学中都应该有“鸡兔同笼”的一席之地。也可以这样说：只要有小学

数学的存在，就应该有“鸡兔同笼”的存在。

关于“鸡兔同笼”的教学，所呈现的景象是：教师乐教，学生乐学，教学方式多样化，教学探究的文章在有关刊物屡屡出现。这种教与学

的氛围、教学方式的多样化和满怀激情的教学探究，已经超越了问题

本身，促进了学生快乐地“学”，教师有效地“教”。

二、“鸡兔同笼”教学中的解题方法

“鸡兔同笼”问题呈现在教学中的解题方法，归纳起来有下面几种。

问题：鸡兔同笼，有12个头，30条腿。鸡、兔各几只？

（一）假设法

假设法就是先假设全都是鸡（或兔），然后根据由假设得到的腿

数与实际腿数的差，就能求出兔（或鸡）的只数。

解：（30-2×12）÷（4-2）=3（只），12-3=9（只）

答：鸡9只，兔3只

（二）列举法

列举法就是列出鸡和兔的各种可能的情况，然后根据腿的总数是否符合来求解。

答：鸡9只，兔3只。

（三）方程法

方程法就是设鸡（或兔）的只数是x，列一元一次方程即可求解解：设鸡有x只，则

2x+4（12-x）=30

解得：x=9，12-9=3（只）

答：鸡9只，兔3只

（四）面积法

面积法就是将鸡与兔的只数作为长方形的一边，每只鸡或兔的腿数作为长方形的另一边，根据长方形的面积对应的腿数来求解。

解：以长方形的一边表示鸡与兔的只数，另一边表示每只鸡或每只兔的腿数，那么相应长方形的面积表示鸡与兔的腿的总数，如图所示：

4×12=48（条）

48-30=18（条）

18÷（4-2）=9（只）

12-9=3（只）

答：鸡9只，兔3只。

三、关于“鸡兔同笼”问题的教学思考

（一）关于解题方法的思考

以上几种解题方法各有千秋，对于培养小学生的发散思维能力、

感悟数学的思想和方法、提高数学学习的情感和兴趣等方面都将产生

非常积极的影响。

假设法是教学中用得最多的方法，很多教师一看到“鸡兔同笼”问题，就定格为假设法而忽视其他方法。假设法也确实能够便于小学生

接受，只要学会假设，同时学会寻求两个差相除，问题就得以解决。

假设法是解决这类问题的一种行之有效的方法，而利用两个差相除的

方法还不仅仅是假设法才用到。

列举法应该是在学生还没能掌握假设法之前就能够想到的方法，

这符合儿童的认知特点。虽然在列举的过程中也许有学生会直达目标，但只有列举出所有情况才能肯定有且只有一个答案。这就会自然出现

一个感觉上不太愉快的问题，那就是一一列举的操作量的问题，倘若

把题目中的数据换大，势必带来操作量过大的麻烦。因此，教师还须

探究更为简便可行的方法。

方程法也应该是在学生能够想到的方法，对于小学高年级的学生

来说，已经具备列一元一次方程求解应用题的能力。此时运用方程法，可巩固和提高列方程解应用题的能力，同时能够感受到方程法在数学

运用上的普适性。这也为学生进入初一阶段的学习，包括学习二元一

次方程组，都是一种铺垫和过渡。因此，方程法的运用不可不提。

面积法，这是一种具有挑战性的方法，既是对学生的挑战，也是

对教师的挑战。面积法使得数与形巧妙地结合在一起，不仅体现出数

形结合的思想和方法，而且体现着一种数学的美。在这里，腿的数量

存在着鸡与兔的只数和每只鸡与兔的腿数的乘积关系，而能够反映两

个量乘积关系的几何意义的平面图形，莫过于熟知的长方形。进而，

只要是能够反映两个量乘积关系的应用题，教师不妨试一试面积法。

这样，面积法的运用就可能转化为一种意识，就会随之而扩大运用的

范围，如行程问题、工程问题、盈亏问题，甚至较复杂的计算题。事

实上，对于数学的学习，一旦学会了数形结合，也就使学习进入一个

新天地。

那么，只有这些方法都展示出来，才能显示其千秋，比较其忧劣。也许有的方法并不简便，也并不易于接受，但是各种方法的数学内涵

是不能相互替代的。“鸡兔同笼”教学的目的，并不仅仅是能够给出一

个求解问题的方法，而应该是能够探究出解决该类问题的多种方法。

否则，怎样体现新课程理念？又怎样体现课堂教学较之奥数辅导的优

越性？新课程理念的核心是问题的探究，是探究的过程，是探究的过

程中的创新，从而具有数学学习的情感、态度和价值观，而传统教学

和奥数辅导所缺乏的正是这些。因此，借助“鸡兔同笼”的教学机会，

就应该展示出这些解题方法。

（二）关于题型拓展的思考

“鸡兔同笼”教学的目的，并不仅仅是能够求解一个“鸡兔同笼”问题，而是能够求解一类“鸡兔同笼”问题。事实上，“鸡兔同笼”展现的是这样一类问题：把有联系的两种事物放在一起描述，已知这两种事物的总

数和关于这两种事物本身特有的另一个数量，求这两种事物各自的数量。这类问题就是一个具有普遍性的问题，“鸡兔同笼”只不过是其中

的一个代表，而用“鸡兔同笼”来代表这类问题又的确很恰当、很经典，因此，教师不妨称这类问题为“鸡兔同笼”问题。

既然“鸡兔同笼”是一类题型，那么，在教学中就应该将“鸡兔同笼” 拓展为一类问题，而不是一个问题，不只是鸡兔同笼本身。因此，教

师有必要将问题进行拓展，让学生看到形形色色的生活中的“鸡兔同笼”类型问题。在“鸡兔同笼”这个大类问题中，存在着若干小类的问题，

常见的有下列问题：