2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)5.4数列求和课件 新人教A版

因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，故an＝
2· n－1. 3
(2)因为bn＝an＋(－1)nln an＝2·n－1＋(－1)nln(2·n－1) 3 3 ＝2·n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3， 3 所以S2n＝b1＋b2＋„＋b2n＝2(1＋3＋„＋32n 1)＋ [－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋… 1－32n ＋(－1)2n2n]ln 3＝2× ＋nln 3＝32n＋nln 3－1. 1－3
第二列 2 4 8
第三列 10 14 18
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数 列{bn}的前2n项和S2n.
[自主解答]
(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意．
1 本例条件不变，若数列{bn}满足bn＝ ， Sn＋n 求数列{bn}的前n项和Tn.
解：Sn＝nan－n(n－1)＝n(2n－1)－n(n－1)＝n2. 1 1 1 1 1 bn＝ ＝ 2 ＝ ＝n－ ， Sn＋n n ＋n nn＋1 n＋1
1 1 1 1 1 1 1 1 Tn＝1－2＋2－3＋3－4＋„＋n－n＋1＝1－
5 答案： 12
数列求和的方法
(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求 通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备
某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数
列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
3．(2012·“江南十校”联考)在等比数列{an}中，a1>0， n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝log4an，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，是否存 1 1 1 1 在正整数 k，使得 ＋ ＋ ＋„＋S <k 对任意 n∈ S1 S2 S3 n N*恒成立？若存在，求出正整数 k 的最小值；不存 在，请说明理由．
(1)求使 an<0 的 n 的最大值． (2)求 Sn. 解：(1)∵点(n，an)在函数 f(x)＝2x－3x－1 的图像上，
∴an＝2n－3n－1. ∵an<0，∴2n－3n－1<0. 即 2n<3n＋1. 又∵n∈N＋，∴n≤3，即 n 的最大值为 3.
(2)∵an＝2n－3n－1 ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an ＝(21－3×1－1)＋(22－3×2－1)＋„＋(2n－3×n－1) ＝(21＋22＋„＋2n)－3(1＋2＋3＋„＋n)－n 21－2n nn＋1 ＝ －3· －n 2 1－2 ＝2
n 答案： 4n＋1
5．(2013· 宁波模拟)数列{an}，{bn}满足 anbn＝1，an＝n2＋ 3n＋2，则{bn}的前 10 项和为________． 1 1 1 2 解析： n＝n ＋3n＋2， n＝a ＝ 2 a b ＝ n ＋3n＋2 n＋1n＋2 n
1 1 ＝ － ， n＋1 n＋2 1 1 1 1 1 1 5 则{bn}的前 10 项之和为 － ＋ － ＋„＋ － ＝ . 2 3 3 4 11 12 12
n＋1
n3n＋5 － －2. 2
错位相减法求和
[例2]
(2012· 江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn
＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3. (1)求an；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
[自主解答]
－1
(1)由 Sn＝kcn－k， an＝Sn－Sn－1＝kcn－kcn 得
②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相 消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
分组转化法求和
[例1]
(2011· 山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，
a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2， a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9
则对任意正整数n，Sn＝ n[－1n－1] A. 2
－1n＋1 C. 2
(
－1n－1＋1 B. 2 －1n－1 D. 2
)
解析：因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1 的等比 －1－－1n×－1 －1n－1 数列，所以 Sn＝ ＝ . 2 1－－1
答案：D
2． (2012· 重庆模拟)数列{an}满足 a1＋3a2＋32a3＋„＋3n－1an n ＝ ，则 an＝ 2 ( )
－
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列， 可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为
b ，n为奇数， n an＝ cn，n为偶数
的数列，其中数列
{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.
1．已知函数 f(x)＝2x－3xwk.baidu.com1，点(n，an)在 f(x)的图像上，an 的前 n 项和为 Sn.
3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比
数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即
可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导 的． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些
项可以相互抵消，从而求得其和．
[小题能否全取] 1．(2013· 沈阳六校联考)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，
[知识能否忆起]
一、公式法 1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时 直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列 公比q的取值情况要分q＝1或q≠1.
2．一些常见数列的前n项和公式：
nn＋1 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝ ； 2
2 (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n ；
n2＋n . (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝
－2)，
即an－an－1＝2. ∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列， 故an＝1＋(n－1)· 2＝2n－1，n∈N*.
2 2 1 (2)由(1)知bn＝ ＝ ＝ － anan＋1 2n－12n＋1 2n－1 1 ， 2n＋1
1 1 1 1 1 故Tn＝b1＋b2＋„＋bn＝ 1－ ＋ － ＋ － ＋„ 3 3 5 5 7 1 1 1 2n － ＋ ＝1－ ＝ . 2n－1 2n＋1 2n＋1 2n＋1
式为an＝2·n－1. 3
an＋1 n (2)由 ＝(4＋k)anbn，可得 bn＝ n－1， 2 2· 3 3 n 即 bn＝ ·n. 23 n 31 2 3 ∵Tn＝ 3＋32＋33＋„＋3n， 2 n 1 3 1 2 3 ∴ Tn＝ 32＋33＋34＋„＋3n＋1， 3 2 1 n 2 31 1 1 ∴ Tn＝ 3＋32＋33＋„＋3n－3n＋1， 3 2 1 n 91 ∴Tn＝ 2－2·n－3n＋1. 3 4
1 A. n－1 3· 2 1 C. n 2
1 B. n－1 2· 3 n D. n 3
1 解析：法一：令 n＝1，得 a1＝ ，排除 A、D；再令 n＝2， 2 1 得 a2＝ ，排除 C，故选 B. 6 法二：由 a1＋3a2＋3 a3＋„＋3 得 a1＋3a2＋3 a3＋„＋3 相减得 3
n－1 2 n－2 2 n－1
(n≥2)． 由 a2＝4，a6＝8a3 ，得 kc(c－1)＝4，kc5(c－1)＝8kc2(c－
c＝2， 1)，解得 k＝2，
所以 a1＝S1＝2，an＝kcn－kcn 1＝2n(n≥2)， 于是 an＝2n.
－
(2)Tn＝ iai＝ i·i， 2
i＝1 i＝1
n
n
即 Tn＝2＋2·2＋3·3＋4·4＋„＋n·n. 2 2 2 2 Tn＝2Tn－Tn＝－2－22－23－24－„－2n＋n·n＋1 2 ＝－2n＋1＋2＋n·n＋1＝(n－1)2n＋1＋2. 2
二、非等差、等比数列求和的常用方法
1．倒序相加法 如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相 等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组转化求和法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数 列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减．
解：(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a3＝16， ∵a3－a2＝8，则a2＝8，∴q＝2.
∴an＝2n＋1.
(2)∵bn＝log42
n＋1
n＋1 ＝ ， 2
nn＋3 ∴Sn＝b1＋b2＋„＋bn＝ . 4 1 1 4 4 1 ∵S ＝ ＝ n－n＋3， nn＋3 3 n
用错位相减法求和应注意：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负
数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为
参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
2．(2013· 济南模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且
答案：C
1 1 1 1 4．数列 ， ， ，„， ，„的前 n 项 2×4 4×6 6×8 2n2n＋2 和为________．
1 1 1 1 解析：因 an＝ ＝ n－n＋1 2n2n＋2 4 1 1 1 1 1 1 则 Sn＝ 1－2＋2－3＋„＋n－n＋1 4 1 1 n 1－ ＝ n＋1＝4n＋1. 4
1 1 1 1 ∴ ＋ ＋ ＋„＋S S1 S2 S3 n 1 1 41 1 1 1 1 1 ＝ 1－4＋2－5＋3－6＋„＋n－n＋3 3 1 1 1 22 4 1 1 ＝ 1＋2＋3－n＋1－n＋2－n＋3< ， 9 3 ∴正整数 k 的最小值为 3.
1 n ＝ . n＋1 n＋1
利用裂项相消法求和应注意
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有 可能前面剩两项，后面也剩两项；
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使 裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}
1 1 1 1 1 － 1 是等差数列，则 ＝ a ， ＝ d n an＋1 2d anan＋1 anan＋2 1 － 1 an a ＋ . n 2
裂项相消法求和
[例3]
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝
nan－n(n－1)(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；
2 (2)设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn. anan＋1
[自主解答]
(1)∵Sn＝nan－n(n－1)，当n≥2时，
Sn－1＝(n－1)·n－1－(n－1)(n－2)， a ∴an＝Sn－Sn－1＝nan－n(n－1)－(n－1)an－1＋(n－1)· (n
n an＝ ， 2
n－1 an－1＝ (n≥2)， 2
1 1 an＝ ，an＝ n－1. 2 2· 3
答案：B
3．若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}的 前 n 项和为 ( )
A．2n 1＋n2－2 C．2n＋1＋n2－2
－
B．2n＋n2－2 D．2n＋1＋n2
21－2n n1＋2n－1 ＋ 解析： Sn＝ ＋ ＝2n 1－2＋n2. 2 1－2
满足Sn＝3n＋k. (1)求k的值及数列{an}的通项公式； an＋1 (2)若数列{bn}满足 ＝(4＋k)anbn，求数列{bn}的前n 2
项和Tn. 解：(1)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－3n－1－k＝
2·n－1，得等比数列{an}的公比q＝3，首项为2. 3
∴a1＝S1＝3＋k＝2，∴k＝－1，∴数列{an}的通项公