椭圆中的常见最值问题

椭圆中的常见最值问题

1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。

例1、椭圆19

252

2=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的

最大值时，P 点的坐标是 。P （0，3）或（0，-3）

例2、已知椭圆方程122

22=+b

y a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点，

21,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。

分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤

当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤

2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。

例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15

92

2=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动

点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。

3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。

例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15

92

2=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则

||||1PF PA +的最小值是 ，此时P 点坐标为 。||||1PF PA +的最大

值是 ，此时P 点坐标为 。

分析：||||||||||2121AF PF PF PF PA ++≤+，当P 是2AF 的延长线与椭圆的交点时取等号。||||||||||2121AF PF PF PF PA -+≥+，当P 是2AF 的反向延长线与椭圆的交点时取等号。

4、椭圆上的点P 到定点A 的距离与它到椭圆的一个焦点F 的距离的e

1倍的和||1

||PF e

PA +的最小值（e 为椭圆的离心率），可通过

e d

PF =|

|转化为d PA +||（d 为P 到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A 到准线的垂线与椭圆的交点。

例5、已知定点)3,2(-A ，点F 为椭圆112

162

2=+y x 的右焦点，点M 在该椭圆

上移动，求||2||MF AM +的最小值，并求此时M 点的坐标。

例6、已知点椭圆19

252

2=+y x 及点)0,3(),2,2(-B A ，),(y x P 为椭圆上一个动点，

则||5||3PB PA +的最小值是 。

5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。

例7、过椭圆122

22=+b

y a x （222,0c b a b a +=>>）的中心的直线交椭圆于B

A ,两点，右焦点)0,(2c F ，则2ABF ∆的最大面积是 。

例8、已知F 是椭圆22525922=+y x 的一个焦点，PQ 是过原点的一条弦，求PQF ∆面积的最大值。

6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。

例9、P 为椭圆122

22=+b y a x （222,0c b a b a +=>>）一点，左、右焦点为

)0,(1c F -)0,(2c F ，则21F PF ∆的最大面积是 。

7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。

例10、已知A 是椭圆22525922=+y x 的长轴一个端点，PQ 是过原点的一条弦，求A PQ ∆面积的最大值。

8、椭圆上的点到坐标轴上的定点的距离最大值、最小值问题可利用两点间的距离公式及椭圆方程联立化为求函数最值问题。

例11、设O 为坐标原点，F 是椭圆19

252

2=+y x 的右焦点，M 是OF 的中点，

P 为椭圆上任意一点，求||MP 的最大值和最小值。

例12、椭圆中心在原点，长轴在x 轴上，23=e ，已知点)2

3

,0(P 到这个椭圆上的最远距离是7，求椭圆方程。

9、椭圆的焦点到椭圆上的距离最近和最远点是椭圆长轴的两个端点。

ex a r +=1)|(|a x ≤为x 的增函数，ex a r -=2)|(|a x ≤为x 的减函数，a x ±=时，22,r r 分别取得最大值c a +和最小值c a -。

例13、椭圆19

252

2=+y x 上的点到右焦点的最大值 ，最小值 。

10、椭圆上的点到定直线的距离最近及最远点分别是与定直线平行的椭圆的两条切线的切点。

例14、已知椭圆8822=+y x ，在椭圆上求一点P ，是P 到直线04:=+-y x l 的距离最小，并求最小值。

11、椭圆上的点到与它的两个焦点连线的最大夹角是它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角。范围大于等于00，小于它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角。

分析：⇒=+a PF PF 2||||21||||21PF PF 2a ≤⇒

2

2

221222121222122221221||||22||||2||||244||||24||||cos a

c a PF PF c a PF PF PF PF c a PF PF c PF PF -≥--=--=-+=θ 等号成立的条件：a PF PF ==||||21，即P 点为短轴的端点。

例15、已知椭圆C ：122

22=+b

y a x )0(>>b a ，两个焦点为22,F F ，如果C 上

有一点Q ，使021120=∠QF F ，求椭圆的离心率的取值范围。

例16、如图所示，从椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 上一点M 向x 轴作垂线，恰

好通过椭圆的左焦点1F ，且它的长轴的端点A 短轴的端点B 的连线AB 平行于OM 。

（1）求椭圆的离心率

（2）设Q 为椭圆上任意一点，2F 为椭圆的右焦点，求21QF F ∠的范围。 （3）当AB QF ⊥2时，延长2QF 与椭圆交于另一点P ，若PQ F 1∆的面积为

320，求此椭圆方程。

12、椭圆上的点与它长轴的两个端点的连线的最大夹角是它的短轴的一个端点和长轴的二端点的连线的夹角。范围为大于2

π

，小于它的短轴的一个端点和长轴的二端点的连线的夹角。

例17、已知椭圆C ：122

22=+b

y a x )0(>>b a ，长轴的两个端点为A 、B ，如

果C 上有一点Q ，使0120=∠AQB ，求椭圆的离心率的取值范围。