3-3线性相关性判定定理

1
0,
2

2
0 ,
r

r
0
2

2
,
r

r
即表达式唯一.
返回
证
因为
使 从而
1
,
2
, ,
r
线性相关
k 1 , k 2 , , k r
r
故存在一组不全为零的数
k 1
1
k 2
2
k r 0
0
k 1
1
k 2
1
2

a
r 2
a rn
其中r ≤ n，则向量组A线性无关的充分必要条 件是：在矩阵A中至少存在一个不等于零的r 阶子式。
T T

T

1 0
0 1 0
0 0 1
1 2
1 0
0 2 0
0 0 0
0 0
r
∴β 可由Ａ线性表示.
下证唯一性： 设
1
1
2 2
2
r r ; r
r
1
1
2
两式相减有
1

1

1

2

2

2

r

r

r
0
∵Ａ线性无关，
1 1 1,
例如：
例如：
, ,
m
也线性相关。
解释
0.

含 0 的向量组
.

.
, , 0 , .
部分相关则整体相关
整体无关则部分无关
定义
1
在
m n 矩阵
A 中任取
k 行 处的 k
2
k 列（ 个元素
k m , , 不改
k n ），位于这些行列交叉 变它们在 称为矩阵 A 中所处的位置次序而得 A 的 k 阶子式 .
A 的 k 阶子式共有
C
k n
个 .
定理4
设n维行向量组A： r × n型矩阵

A
T 1 T 2
T 1
,
T 2
, ,
T r
构成一个

a 11
a 12 a
22

a1n a
2 n


T r
a 21 a r1
k 1
1
1
,
2
, ,
, , k
m
线性相关， 使
0.
k1,k
2
m
,
k 2
2
k
m

m
因k
1
, k 2 , , k
k
m
中至少有一个不为0，
不妨设

1
1
0 ,则有
k k
2

2
1
k k
3

3
1
km k1
n
0
a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a
m 1
x1 a
m 2
x
2

a
mn
x
n
0
x 1

1
x 2

2
x n

n
0
或： A x 0
其中
复习：
一、n 维向量的概念
1.
a a1 a2 a
n

( a1 , a 2 , a n )
T
a
T
( a1 , a 2 , , a
n
)
2. 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 记作： A : , , ,
(
1
2

n)

a 12 a
22
A
a
m 2


m n
mn T 1 T 2
T m

4.方程组的向量(或矩阵）表示法
a
11
x1 a
12
x
2

a
1 n
x
0
2
3
3
2
5
解
矩阵A中有3个2维行向量，由推论3知必线 性相关。 因为 B 2 线性无关。
0
由推论1知B的三个行向量
矩阵C的4个3阶子式全为零，故C的3个行 向量线性相关。
推论4 如果在m × n型矩阵A中有一个r阶子式
D 0 ，则含有D的r个行向量和r个列向量都线
2 j

j
, a
nj
)
T
( j 1, 2 , m ),
B :

j
(a
p1 j
,a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p2 j
, , a
pn j
)
T
( j 1, 2 , m ),
其中 p p p 是 1 , 2 , , n 这n个自然数的某个确 定的排列，则向量组A与B的线性相关性相同。
1 2 n
四.线性相关性在线性方程组中的应用
性无关；如果A中所有r阶子式全等于零，则A的 任意r个行向量及任意r个列向量都线性相关。

1 T 2 T
T

1


2

3

2 3 2

1 1 1

4


1 1
2 2

3
1
2
结束
证明
充分性
m
设 1 , 2 , , m 中有一个向量（比如 能由其余向量线性表示.
1 2 s
3.矩阵的列（行）向量组
a 11 a 21 a m1
a 11 a 21 a
m 1
a 12 a 22 am

2

a1n a 2n a
mn
A
a1n a 2n a mn
线性方程组 能用
x 1

1
x 2

2
xm
m

m
有解 .
1， 2 ， ，
x 1
1


线性表示
m
线性方程组 不能用
x 2

2
无解 .
xm
m
1， 2 ， ，
x 1
1
线性表示
线性方程组 向量组
线性方程组 向量组
x 2 , ,

2
xm 线性相关
xm 线性无关

m
0 有非零解
.
1,


2

m
x 1

1
x 2 , ,

2

m
0 只有零解
1,

2

m
§3.3
线性相关性判定定理

0
3
0
0
推论1 n个n维向量线性无关的充要条件是它 们所构成的n阶方阵的行列式不等于零。
1
0 3 0 1 2 1
T
1

T

0 3 6
1 2 4
T


0 0

T


0 0

T
T
推论2 n个方程的n元齐次线性方程组Ax＝0有 非零解的充要条件是系数行列式 A 0
的 k 阶行列式，
例1
1 2 A 2 3
m n 矩阵
2 4 1 3
1 2 0 3
0 6 2 3
2 6
1 D 2
2
1
0
2
D
4
3 4 45
C
k m
6 4 2 6 6 0 14 2 0 2 3 1 2 3 3 3 4
A ( 1 , 2 ,



n
).
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a
m1
k r
2
r
r1
0
m
0
其中 k , k 所以 ,
1
, , k r , 0 , , 0 , ,
r
2
,
r1
,
m
不全为零 线性相关
返回
x1 a
m 2
x2 a
2
mn
xn bm
x 1

1
x 2

x n
其中

n


n

).
或： A x b
A ( 1 , 2 ,

二、线性组合的概念
k 1
k 1
结论


1
k 2

2

2
k m

m

m
三、线性相关性的概念
定理1 向量组 , , , （当m 2 时）线性相关 的充分必要条件是 , , , 中至少有一个向 量可由其余 m 1 个向量线性表示． 解释
1 2 m
1 2 m
例如：
定理2
设向量组 A : 1 , 2 , , r 线性无关 , 而向量
解释
， 1， 2 ， n .
推论3 当m>n时，m个n维向量 , , , 一定线性相关。这就是说，向量的个数超过 维数的向量组一定线性相关。
1 2 m
例 讨论下列矩阵的行(列）向量组的线性相关性
2 A 3 3 1
B 1 2 2 2 4 3 1 C 1 0 3 2 0 2 1 1 2 3
m
.
即 能由其余向量线性表示.
1
返回
证
设
k 1
1
k 2
2
k r
r
k 0
∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关，
∴k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）
即有

k 1
k1 k
1
k 2
k
2
2
k r
k
r
r
k


1


k
2

k
A : B :

j
(a1 j , a (a1 j , a
2 j
, a , a
rj
)
T
( j 1 , 2 , m ),
r 1, j

j
2 j
rj
,a
, a
nj
)
T
( j 1 , 2 , m ),
若向量组A线性无关，则向量组B也线性无关。
结论5
A :
设有两个向量组
(a1 j , a
即有 故
1
m
）
1
2
1
2
2
m 1

m 1
1
2
m 1
, 1
m 1
1
m
0
因
故 .
1 , 2 , ,
m 1

这
m
个数不全为0，

1
,
2
, ,
m
线性相关
必要性 设 则有不全为0的数

1
k 2
k m
0
1. 向量组只包含一个向量
时 ,
, 若 0 , 则 线性无关
组是线性相关的 .
若 0 则 线性相关
结论 2. 包含零向量的任何向量
.
结论
3 . 对于含有两个向量的向
量组 量对应成比例
, 它线性相关的
充要条件是两向量的分
结论 4 设有两个向量组




组 B : 1 , , r , 线性相关 , 则向量 必能由向量组 A 线性表示 , 且表示式是唯一的 .
例如：
， 1， 2 ， n .
定理3
若向量组 1 , 2 , , r 线性相关 , 则
r 1
向量组 1 2 , , r ,