高三数学空间向量专题复习附答案

一、利用向量处理平行与垂直问题

例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。求证：AM B A ⊥1

练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？

例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 3

1,31==,求证：//MN 平面CDE

练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE

2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，

,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点

F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.

二、利用空间向量求空间的角的问题

例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=4

1A 1B 1，D 1F 1=4

1D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。

例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且

=

11E D 41

D 1C 1,试求直线

E 1

F 与平面D 1AC

例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。

z

x

1

C

F

D C

B

A

例4 已知E,F分别是正方体

1

1

1

1

D

C

B

A

ABCD-的棱BC和CD的中点，求：

（1）A1D与EF所成角的大小；

（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；

（3）二面角B

B

D

C-

-

1

1

的大小。

三、利用空间向量求空间的距离的问题

例1 直三棱柱AB C-A1B1C1的侧棱AA1，底面ΔAB C

求点B1到平面A1B C的距离。

例2如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2

=

=

=

=BD

CD

CB

CA

2

=

=AD

AB

（I）求证：AO⊥平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD

（III）求点E到平面ACD的距离。

例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，

F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。

空间向量与立体几何考点系统复习

一、利用向量处理平行与垂直问题（特别是探索性问题）

例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。求证：AM B A ⊥1

证明：如图，建立空间坐标系

)2

6

,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),6,0,3(1M A B A )6,1,3(),2

6

,0,3(1--=-=B A AM 01=⋅B A AM

练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？

解：以D 为原点建立如图所示的坐标系，

设存在点P （0，0，z ），

AP =(-a ,0,z )，AC =(-a ,a ,0)，1DB =(a ,a ,a )， ∵B 1D ⊥面

P AC ，∴01=⋅AP DB ，

01=⋅AC DB

∴－a 2+az =0∴z =a ，即点P 与D 1重合 ∴点P 与D 1重合时，DB 1⊥面P AC

例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 3

1,31==,求证：//MN 平面CDE 证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF 长分别为3a ,3b ,3c

),0,2(c a BM AB NA NM -=++=

又平面CDE 的一个法向量)0,3,0(b AD = 由0=⋅AD NM 得到AD NM ⊥

因为MN 不在平面CDE 内

所以NM//平面CDE

练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE

证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D -xyz

)0,0,1(=DA ,)2

1

,,1,1(=DE

因为)1,2

1

,0(1-=F D

所以0,011=⋅=⋅DE F D DA F D

DE F D DA F D ⊥⊥11,

D DA D

E = 所以2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，

,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点

F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.

解答：根据题设条件，结合图形容易得到：

)3,32,0(,),,0(,)0,2,23(

a

a E a a D a a B - ),0,0(,)0,2

,23(a P a a C

),2,23(a a

a CP --=

假设存在点F

CP CF λ=),2

,23(a a

a λλλ--=。

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=+=a a a CF BC BF λλλ,)21(,23 又)3

,32,

0(a

a AE =，)0,2,23(

a a AC = 则必存在实数21,λλ使得AE AC BF 21λλ+=，把以上向量得坐标形式代入得

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

⎪⎨⎧

=-==⇒⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=+=

-=-2321213322)21(2323212211λλλλλλλλλλa a a a a a a 即有AE AC BF 23

21+-= 所以，在棱PC 存在点F ，即PC 中点，能够使BF ∥平面AEC 。