常微分方程知识点总结

通解: y C e P (x)d x e P (x)d x Q(x) e P (x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
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二、线性齐次方程解的结构
定理1. 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
(4) 2 y dx ( y3 x) dy 0
(5) ( y ln x 2) y dx x dy
提示:
y 1dy dx
y
x
可分离 变量方程
dy y ln y
齐次方程
dx x x
dy 1 y x2 线性方程
dx 2x
2
dx 1 x y2 线性方程
dy 2y
2
dy
2
y
ln
x
y
2
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
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即含有未知函数y,
三、y f ( y, y) 型的微分方程 不含自变量x
令 y p ( y), 则 y d p d p dy
故通解为 y C e P(x)dx
注：①所谓线性，即是 方程中未知函数及其导 函数均为一次函数 ②本节的“齐次方程” 与上节的“齐次方程” 是两个不同的概念
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2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法:作变换 y(x) u(x) e P(x)d x , 则
u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x P(x) 该u e定理P(易x)让d x我们Q想(x起)
即
《线性代数》中的
两端积分得对应齐u 次 方Q程(x通) e解 P(x)ydx dCxe一组C P阶的(x)非解dx齐的次结线构性定方理程。
故原方程的通解
y
e
P(x)d
x
Q(
x)
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第三节 齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y , x
代入原方程得 u x d u (u)
dx
分离变量:
du dx
(u) u x
两边积分, 得
du
(u) u
dx x
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
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y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x)
f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ;
f (x) 0 时, 称为齐次方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
g( (x))(x) dx f (x) dx
两边积分, 得
f (x)dx
则有
②
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F’(x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
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内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
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思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
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两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关 线性无关
令
u y, x
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
伯努利 方程
dx x x
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第五节
第七章
可降阶高阶微分方程
一、
型的微分方程
二、
型的微分方程
三、
型的微分方程
解法：降阶
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一、y ( n)
f
(x)
型的微分方程
既不含未知函数y,也 不含未知函数的导数
令 z y(n1) ,
因此
解法: 连续积分n
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一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
例6 例7
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例1 例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
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微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
第二节
第七章
可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx
f1 ( x)
f2 ( y)
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
转化
解分离变量方程 g( y)dy f (x)dx
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分离变量方程的解法:
g(y)dy f (x)dx
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y, , y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y, , y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
故 y Y (x) y * (x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 .
证毕
例如, 方程
有特解
对应齐次方程
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
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定理 4.
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2, , n )
z f (x) dx C1 次 ，便得通解。
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
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二、y f (x, y) 型的微分方程 即含自变量x,
不含未知函数y
设 y p (x) ,
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)
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三、线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
定 义
称这条曲线为微分方程的积分曲线。
3 ②微分方程的通解是一族函数；y y(x,c1,c2, ,cn )又是平面内
的一族曲线，称它们为微分方程的积分曲线族。
例1中，积分曲线为y x2 1； 例1中，积分曲线族为y x2 c 注：微分方程的积分曲线族中 的每一条曲线在点(x0, y0 )处有平 行的切线。
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解
说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C
后者是通解 , 但不包含前一个解 .
2. 可分离变量方程的求解方法:
分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
3 .齐次方程的求解方法:
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
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2.微分方程的解（几何意义）：
①微分方程的特解是一个函数；y y(x)又是平面的一条曲线，
dx
令z
y1
n
,则
dz dx
(1 n)yn
dy dx
dz (1 n) P(x) z (1 n)Q(x) (线性方程)
dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
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内容小结
1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证: 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得
[C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
Q(x)[C1y1 C2 y2 ] C1[ y1 P(x) y1 Q(x) y1]
e
P(
x)
d
x
dx
C
即
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
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二、伯努利 ( Bernoulli )方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
yn d y P(x)y1n Q(x)
y1(x) k2 y2 (x) k1
( 无妨设
k1 0 )
y1 ( x) y2 (x)
常数
(证明略)
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
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定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
问题：
C2 [ y2 P(x) y2 Q(x) y2 ] 0 证毕
y C1y1(x) C2 y2 (x)是不是所给二阶方程的通解？ 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
f (x) 0 f (x)
(Y P(x)Y Q(x)Y )
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但是
并不是通解！
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
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定义: 设 y1(x), y2 (x), , yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
y e P(x)dx Q(x) e P(x)dx dx C
2. 伯努利方程
令 u y1n , 化为线性方程求解.
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思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
(2) x dy y (ln y ln x) dx
(3) ( y x3) dx 2x dy 0