(完整版)【精华版】二次根式计算专题训练(附答案)

二次根式计算专题训练
一、解答题（共 30 小题） 1．计算： （1） + ；
（ 2）（ + ）+（
﹣ ）．
2．计算： （1）（π﹣3.14） 0+|
﹣2| ﹣
+（ ） -2． （2）
﹣4 ﹣（ ﹣ ）．
（3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2） 2．
3．计算化简： （1） + +
（2）2 ﹣ 6 +3 ．
③
=
=
（1）利用你观察到的规律，化简：
…回答下列问题：
第10页（共 12页）
（2）计算：
+
+
+…+
Baidu Nhomakorabea
．
【分析】（1）根据观察，可发现规律；
=
，根据规律，可得答案；
（2）根据二次根式的性质， 分子分母都乘以分母两个数的差， 可分母有理化．
【解答】 解：（ 1）原式 =
=
；）
（2）原式 =
+
+
+…+
= （ ﹣ 1）． 23 ．观察下面的变形规律：
（4）
+ ﹣（ ﹣1）0．
11．计算： （1）（3 +
﹣4 ）÷
（ 2）
+9 ﹣2x2? ．
12．计算： ①4 + ﹣ +4 ；
②（ 7+4 ）（ 7﹣ 4 ）﹣（ 3 ﹣1）2．
13．计算题 （1） × ×
（2）
﹣ +2
（3）（﹣ 1﹣ ）（﹣ +1）
（4） ÷（ ﹣ ）
（5） ÷ ﹣ × +
（6）
=a+b+c﹣（ b+c﹣a） +（ b+a﹣c）
=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c
=3a+b﹣ c．
21．已知 1＜ x＜ 5，化简：
﹣| x﹣5| ．
解：∵ 1＜ x＜ 5，
∴原式 =| x﹣1| ﹣| x﹣ 5| =（ x﹣1）﹣（ 5﹣x）= 2x﹣6．
22．观察下列等式：
①
=
=
；②
=
=
． ；
（3）（﹣ 1﹣ ）（﹣ +1） =﹣（ 1+ ）（ 1﹣ ） =﹣（ 1﹣5） =4；
（4） ÷（ ﹣ ）=2 ÷（ ﹣ ）=2 ÷
=12；
（5） ÷ ﹣ × + =4 ÷ ﹣ +2 =4+ ；
（6）
=
14．已知： a=
， b=
=
=
．
，求 a2+3ab+b2 的值．
解： a=
=2+ ，b=
2﹣ ，
【点评】 本题考查了二次根式性质的应用当 a≥0 时，
=a，当 a≤0 时，
=﹣ a．
17．计算：
（1）9 +5 ﹣ 3 = 9 +10 ﹣12 = 7 ；
（2）2
= 2× 2× 2×
=
；
（3）（
）2016（ ﹣ ）2015．
=[ （ + ）（ ﹣ ）] 2015?（ + ）
=（ 5﹣ 6） 2015?（ + ）
26．计算 （1）| ﹣2| ﹣ +2
（2）4 + ﹣ +4 ．
（ 2）
﹣× + ．
27．计算
．
28．计算 （1）9 +7 ﹣ 5 +2
（2）（ 2 ﹣1）（2 +1）﹣（ 1﹣2 ）2．
29．计算下列各题． （1）（ ﹣ ）× +3
（2）
﹣ ×．
30．计算 （1）9 +7 ﹣ 5 +2
（ 2）（ ﹣1）（ +1）﹣（ 1﹣ 2 ）2
（2） ÷
（3） + ﹣ ﹣
（4）（ 3+ ）（ ﹣ ）
8．计算：： （1） + ﹣
（2）3 + （ ﹣ ） + ÷ ．
9．计算 （1） ﹣4 + ÷
（2）（ 1﹣ ）（1+ ）+（1+ ） 2．
10．计算： （1） ﹣4 +
（ 2） +2 ﹣（ ﹣ ）
第 2页（共 12页）
（3）（ 2 + ）（2 ﹣ ）；
5．计算：（ 1） × +3 ×2 = 7 +30 = 37 （ 2） 2 ﹣ 6 +3 = 4 ﹣2 +12 = 14
6．计算：（ 1）（ ）2﹣20+| ﹣ | = 3﹣1+ =
（ 2）（ ﹣ ）×
=（3 ﹣ ）×
= 24
（ 3） 2 ﹣ 3 + = 4 ﹣12 +5 =﹣8 +5 （ 4）（7+4 ）（2﹣ ）2+（2+ ）（2﹣ ）
∴
解得
∵ 有意义的条件是 x≥ y，
∴取 x=5，y=﹣ 4，
∴
．
【点评】 此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或 是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．
16．化简：
﹣a ．
【分析】 分别求出
=﹣ a ， =﹣
，代入合并即可．
【解答】 解：原式 =﹣ a +
=（﹣ a+1） ．
（ 2） +2 ﹣（ ﹣ ）=2 +2 ﹣ 3 + =3 ﹣ ；
（ 3）（2 + ）（2 ﹣ ）=12﹣ 6 =6；
（ 4）
+ ﹣（ ﹣1）0 = +1+3 ﹣1 =4 ．
11．计算： （1）（3 +
﹣4 ）÷
=（ 9 + ﹣ 2 ）÷ 4 =8 ÷4 =2；
=4 +3 ﹣2x2×
=7 ﹣2 =5 ．
第 6页（共 12页）
《二次根式计算专题训练》参考答案与试题解析
一．解答题（共 30 小题）
1．计算：（ 1） +
= 2 +5 = 7 ；
（ 2）（ + ）+（
﹣
2．计算：（ 1）（π﹣3.14）0+| ﹣ 2| ﹣
= 4 +2 +2 ﹣ = 6 + ． +（ ）﹣2 =1+2﹣ ﹣ 4 +9
=12﹣5 ； （ 2） ﹣ 4 ﹣（ ﹣ ）= 2 ﹣4× ﹣ +2 = +
20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简
．
21．已知 1＜ x＜5，化简：
﹣| x﹣5| ．
第 4页（共 12页）
22．观察下列等式：
①
=
=
；②
=
③
=
=
………回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算：
+
+
+…+
．
=
；
23．观察下面的变形规律：
=，
=
，
解答下面的问题： （1）若 n 为正整数，请你猜想
=
=﹣
（1）观察上面的等式，请直接写出
（n 为正整数）的结果
﹣；
（2）计算（
）（
）= 1 ；
（3）请利用上面的规律及解法计算：
（
+
+
+…+
）（
）．
=（ ﹣ 1+ ﹣ +…+
﹣
）（
）
=（
﹣1）（
+1）
=2017﹣1 =2016．
第11页（共 12页）
25．计算：（1）6﹣2 ﹣3 = 6﹣5 = 6﹣ ；
=
，
=
，
=
，
=
， …解答下面的问题：
（ 1）若 n 为正整数，请你猜想
=
﹣；
（ 2）计算：
（
+
+…+
）×（
）
解：原式 =[（ ﹣ 1）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（
﹣
=（
﹣1）（
+1）
=（
）2﹣12 = 2016﹣1 = 2015．
24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：
=
= ﹣1
）]（
+1）
=
=﹣ ；
．
第 3页（共 12页）
14．已知： a=
， b=
，求 a2+3ab+b2 的值．
15．已知 x， y 都是有理数，并且满足
，求
的值．
16．化简：
﹣a ．
17．计算： （1）9 +5 ﹣ 3 ；
（ 2） 2
；
（3）（
）2016（ ﹣ ）2015．
18．计算：
．
19．已知 y=
+
﹣4，计算 x﹣y2 的值．
【解答】 解：由题意得：
， 解得： x= ，
把 x= 代入 y=
+
﹣4，得 y=﹣4，
当 x= ，y=﹣ 4 时 x﹣y2= ﹣16=﹣14 ．
20．已知： a、 b、 c 是△ ABC的三边长，化简
【解】 解：∵ a、b、 c 是△ ABC的三边长， ∴ a+b＞c， b+c＞a，b+a＞c，
∴原式 =| a+b+c| ﹣ | b+c﹣a|+| c﹣b﹣a|
4．计算 （1） + ﹣
5．计算： （1） × +3 ×2
（2） ÷ × ． （2）2 ﹣ 6 +3 ．
6．计算： （1）（ ）2﹣ 20+| ﹣ |
（2）（ ﹣ ）×
第 1页（共 12页）
（3）2 ﹣ 3 + ；
（ 4）（7+4 ）（2﹣ ）2+（2+ ）（2﹣ ）
7．计算 （1） ?
（ a≥ 0）
（ 2） 4 + ﹣ +4 = 4 +3 ﹣2 +4 = 7 +2 ．
26．计算（ 1） | ﹣2| ﹣ +2 = 2﹣ ﹣2+2 = ；
（ 2）
﹣× +
=
﹣ ×5+ = ﹣ 1+ =﹣ ．
27．计算
．
=（ 10 ﹣ 6 +4 ）÷
=（ 10
﹣6
+4
=（ 40 ﹣18 +8 ）÷
=30 ÷
=15 ．
则 a+b=4， ab=1，
第 8页（共 12页）
a2+3ab+b2=（ a+b）2+ab =17． 15．已知 x， y 都是有理数，并且满足
，求
的值．
【分析】观察式子，需求出 x，y 的值，因此，将已知等式变形：
，
x，y 都是有理数，可得
，求解并使原式有意义即可．
【解答】 解：∵
，
∴
．
∵x，y 都是有理数，∴ x2+2y﹣17 与 y+4 也是有理数，
（ 1） 9 +7 ﹣5 +2 = 9 +14 ﹣20 +
=
；
（ 2）（ ﹣1）（ +1）﹣（ 1﹣2 ）2 =3﹣1﹣（ 1+12﹣ 4 ） =2﹣13+4 =﹣ 11+4 ．
第12页（共 12页）
（ 2） 3 + （ ﹣ ） + ÷ = + ﹣2 + = ．
第 7页（共 12页）
9．计算：（ 1） ﹣4 + ÷ =3 ﹣2 +
=3 ﹣ 2 +2 =3 ；
（ 2）（1﹣ ）（1+ ）+（1+ ）2 =1﹣ 5+1+2 +5 =2+2 ． 10．计算：（1） ﹣4 + =3 ﹣ 2 + =2 ；
）÷
28．计算（ 1） 9 +7 ﹣5 +2 = 9 +14 ﹣20 +
=
；
（ 2）（2 ﹣1）（2 +1）﹣（1﹣2 ）2 = 12﹣1﹣1+4 ﹣12 = 4 ﹣2．
29．计算下列各题．
（ 1）（ ﹣ ）× +3 =
﹣
+ =6﹣6 + =6﹣ 5 ；
（ 2）
﹣× =
+1﹣
= 2 +1﹣2 ．
30．计算
（2）
+9 ﹣ 2x2?
12．计算：
①4 + ﹣ +4 =4 +3 ﹣2 +4 =7 +2 ； ②（ 7+4 ）（7﹣4 ）﹣（ 3 ﹣1）2 =49﹣48﹣（ 45+1﹣6 ） =﹣45+6 ．
13．计算题
（1） × × =
=
=2×3×5 =30；
（2）
﹣ +2 = × 4 ﹣2 +2× =2 ﹣2 + = ；
（2）计算：（
+
=
= +…+
， ；
= ）×（
，… ）
24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：
=
= ﹣1
=
=﹣ ；
=
=﹣
（1）观察上面的等式，请直接写出
（n 为正整数）的结果
；
（2）计算（
）（
）=
；
（3）请利用上面的规律及解法计算：
（
+
+
+…+
）（
）．
第 5页（共 12页）
25．计算： （1）6﹣2 ﹣3
（ 3）（x﹣3）（ 3﹣ x）﹣（ x﹣2）2 =﹣x2+6x﹣ 9﹣（ x2﹣4x+4） =﹣2x2+10x﹣13
3．计算化简： （ 1） + + = 2 +3 +2 = 5 +2 ； （ 2） 2 ﹣6 +3 = 2× 2 ﹣6× +3×4 = 14
4．计算（ 1） + ﹣ = 2 +4 ﹣2 = 6 ﹣ 2 ． （ 2） ÷ × = 2 ÷3 ×3 = 2 ．
=﹣（ + ）
=﹣ ﹣ ．
第 9页（共 12页）
18．计算：
．
解：原式 = +（ ）2﹣2 +1﹣ +
=3+3﹣ 2 +1﹣ 2+
=4﹣ ．
19．已知 y=
+
﹣4，计算 x﹣y2 的值．
【分析】 根据二次根式有意义的条件可得：
，解不等式组可得 x 的值，进
而可求出 y 的值，然后代入 x﹣y2 求值即可．
=（2+ ）2（2﹣ ）2+（2+ ）（2﹣ ） = 1+1 = 2
7．计算（ 1） ? （a≥0）=
= 6a
（ 2） ÷
=
=
（ 3） + ﹣ ﹣ = 2 +3 ﹣ 2 ﹣4 （ 4）（3+ ）（ ﹣ ） = 3 ﹣3 +2 ﹣5
= 2 ﹣3 =﹣ 2 ﹣
8．计算：（ 1） + ﹣ = +3 ﹣2 =2 ；