3.1 指数概忥的推广及幂函数

3.1 指数概念的推广及幂函数

一、教学目标： 1.知识目标：

（1）理解整数指数幂推广到有理指数幂的过程，会进行负指数幂与正指数幂的相互转化，会把根式转化为分数指数幂，掌握有理数指数幂的运算法则.

（2）会用函数型计算器计算有理指数幂； （3）会做常见的幂函数的图像.

2.能力目标：

培养学生归纳、推理能力和逻辑思维能力.

3.思想品质目标：

培养学生解决实际问题的能力.

二、教学重点：

有理数指数幂的运算.

三、教学难点：

有理数指数幂的运算. 教师精讲，学生针对性练习是突破难点的关键.

四、教学方法：

讲授法、图示与练习法相结合.

五、教学过程：

（一） 指数概念的推广

1．整数指数幂 （1）n 个a 相乘写作

n a a a a a =⋅⋅⋅⋅ ，

（2）正整数指数幂的运算法则：

① n m n m a a a +=⋅ （m ，n 为正整数），

② n m n m a a a -=÷ （m ，n 为正整数，m >n ，a ≠0）， ③ n

m n

m a

a ⋅=)( (m ，n 为正整数)，

④n n n b a ab =)( (n 为正整数). （3）我们规定：

10=a (a ≠0) , n

n a a 1=

- (a ≠0，n 为正整数).

这样就将指数推广到整数，上述四条运算法则对m ，n 为整数时都成立． 例如，4

1212222225353==

==÷--； 64

1212)2(6623==

=--； 12222222)2(2280)1349(1349134331343===÷⨯=÷⨯=÷⨯-+.

注意：零的零次方没有意义，零的负整数次方也没有意义． 例1 计算下列各式的值：

（１）2322-⨯； （２）4325)5(÷.

解 （１）2222)2(323==⨯-+-；

（２）255555555)5(2)46(46432432===÷=÷=÷-⨯． 练习题3.1.1.1 计算下列各式的值：

(1) 43-； (2) 035.2； (3) 2)5

4(-； (4) 325.0-. 参考答案： （1）

811 （2）1 （3）1625 （4）64

1 ２．分数指数

我们知道，如果a x =2，那么a x ±=叫做a 的二次方根，其中a 叫做算术根；如果b x =3，那么3b x =叫做b 的三次方根一般地，如果

a x n =（1>n N ∈n ）

， 那么x 叫做a 的n 次方根．

正数的偶次方根有两个，分别表示为n a 和n a -，其中n a 叫做a 的n 次算术根，负数的偶次方根没有意义.

任意实数a 的奇次方根只有一个，表示为n a ．

例如，81的4次方根有两个，它们分别是3和-3，32的5次方根是2，-32的5次方根是-2． 形如n a （1>n N n ∈）的式子叫做n 次根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方式． 由n 次根式的定义知，当n a 有意义时， 有 （1）a a n n =)(；

（2）n 为奇数时，=n n a a ，n 为偶数时，=n n a a .

[分析] 2)2(2=，如果按照整数指数幂运算法则（3），可以得到

22

)2(22

12

2

1

==⨯.

为了使得整数指数幂的四条运算法则对分数指数也成立．我们规定：

n m n

m a a

= （a >0，m ，n 为正整数，n ≥２）

， n

m n

m

a

a

1=

-

， （a >0，m ，n 为正整数）. 这样，就将整数指数推广到分数指数，而且整数指数幂的四条运算法则都成立． 例如，55

553

1323

13

2==⨯+，913

133

)3(2

26)3

1(631==

==-⨯--

．

综上所述，我们已经把正整数幂推广到了有理数指数幂，并有运算法则： （１）q p q p a a a +=⋅ （a >0，p ，q 为有理数） （２）pq q p a a =)( （a >0，p ，q 为有理数） （３）p p p b a ab =)( （a >0，b >0，p 为有理数）

注意：底为正数是运算法则成立的必备条件.可以证明p , q 为实数，上述运算法则也成立． 例2 计算下列各式的值：

(1) 3

1

125.0; (2)

33

32

963⨯⨯.

解 (1)2

122)2()81(125.0131

)3(3133131=====-⨯--；

（2）

3

1323

13121313123121313131213

3

3232

332)3()23(329632

963⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯ 6

10

6

1)3

131()3

23121(3232

3

=⨯=⨯=--+

显然，把根式化为指数式后，运算变得简便多了. 例3 计算下列各式（a ,b 均为正数）. (１) 033434)2(

)3()2(a b b a b a ⋅⋅-； (2) ))((21212121

b a b a -+. 973129163912163

33434403343427

1627162716)(271

)()(16)2()3()2()1(b a b a b a b a b a b a a b b a b a ===⋅⋅=⋅⋅-------

b

a b

a

b b b a b a a a b a b a -=-=⋅-⋅+⋅-⋅=-+++2

1212

1212

12121212121212121212121

))(()2( 例4 化简5352523b a b a ÷÷-.

5

115

352)5253(5

35

25

25353525

125

1

3535251

235

3

5

2

5

2

3)()()

(------

---==

÷÷

=÷÷

=

÷÷=

÷÷b

a b a b a b a

b a b a b a b a b a b a

练习题3.1.1.2 1. 计算下列各式

（1）432793⨯⨯; （2）3

4)(a ；（3）3

1a ·3

2a ；（4）48

52

132

132)2()(b a

b a -

⋅.

2.化简下列各式：