电子科大-材料力学-第七章应力状态分析(优.选)

2 x
2
2
(
x + y )2 2
2 + ( x y )2 2
2 x
可以看出，在以σα为横坐标轴，τα为纵坐
标轴的平面内，上式的轨迹为圆，
圆心
+
x
2
y ,0÷÷
，半径
2
x
2
y ÷÷ +
2 x
而圆上任一点的横坐标、纵坐标分别代表单元
体上相应截面的σα 、τα，该圆称为应力圆。
应力圆最早由德国工程师莫尔（otto.mohr, 1835-1918）提出，故又称为莫尔圆。
量时，要选好x、y轴，明确σx，σy，τx和α的大小和正负。
二、应力圆
= x+ y+ x
y cos 2
2
2
x sin 2
=
x
2
y sin 2 + x cos 2
(
x+ y)= x
y cos 2
2
2
x sin 2
=
x
2
y sin 2 + x cos 2
(
x + y )2 + 2 = ( x
y )2 +
轴的交点C便是 圆心，以C为圆心， 以AC为半径画 圆——应力圆
(MPa)
B
A
3
O2
20 C
20MPa
1
(MPa)
主应力及主平面如图
1=120 2 =20 3 =0
0= 30o
25 3
2
45 B 95
A
150° 25 3 0
1
(MPa)
B
A
3
O2
20 C
20MPa
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
y (dAsin ) cos
y (dAsin ) sin = 0
Ft = 0
dA x (dAcos ) cos
x (dAcos ) sin +
y (dAsin ) sin + y (dAsin ) cos = 0
利用三角函数公式
cos2 = 1 (1 + cos 2 ) 2
sin2 = 1 (1 cos 2 ) 2
代入
y
x
主平面的方位：
tg2 0 = 2 x
xy
x
= 60 0.6
60 + 40
0 =15.5o, 0 =15.5o +90o =105.5o
表达式可知
主应力 主应力
1 方向： 0 = 15.5o 3 方向： 0 = 105.5o
（2）主应力单元体：
y
x
x
3 1
15.5°
三、基本变形的主平面和主应力
主应力：主平面上的正应力称为主应力。
在一般情况下，通过受力构
y
2
件的任意点均可找到3个互相垂
3
直的主平面，其上对应有3个主
1
1
应力。即σ1、 σ2和 σ3，且要求
x
3
σ1≥σ2≥ σ3。
z
2
主应力按代数值排序（考虑正负号）： 1 2 3
a
3 =0
o
c
2
1
d
2 =0
o
3
1
2
o
3
1=0
应力状态的分类
25 3
45 95
60°
150° 25 3
x
x
1=
2
x+ 2
y ±（ x 2
y ）2 +
2 x
y = 45MPa
x =?
y = 25 3MPa = x
= 60°
与轴线平行 的截面
x
=
F A
y
A
x
x
x
z
x
与外表面平 行的截面
x
横截面
x
A
x
单向应力状态
圆轴扭转
M
M
A
与轴线平行 的截面
与外表 面平行 的截面
横截面
纯剪切应力状态。
x y
y x
y x
x y
对称弯曲
Ⅰ
F
A
B
L
x1
1
x1 2x
4
4x
4
4x
4
1 2
3 4 5
×××××
2
2
2x
2
x5
5
max
3
3
3
x5
7.2 平面应力状态
x = 60MPa， x = 30MPa,
y = 40MPa, = 30 o。
试求（1）主应力、主平面；
（2）绘出主应力单元体。
y x
x
解：（1）求主应力、主平面
max =
x+ 2
y
= 68.3MPa
(
x
2
y )2 +
2 x
min =
x+ 2
y
( x y )2 2
2 x
= 48.3MPa
y
x
x
1 = 68.3MPa, 2 = 0, 3 = 48.3MPa
单向拉伸 F
B
A
x
x
1 = max =
2 = 3 =0
45°斜截面应力分析
C
x
2
x
2
x
2
x
2
x
x
2
x
2
x
D
max =
x
2
x
2
最大切应力与正应力极值
截面成45°角。
x
2
圆轴扭转
B A
M
C 、D截面上正应力最大
M
1= 2 =0
3=
45°斜截面应力分析
D
M M C
低碳钢 : s = 240 MPa ; s = 200 MPa
第七章 应力状态分析
本章内容
• 平面应力状态分析； • 极值应力和主应力的概念； • 复杂应力状态的最大应力； • 广义胡克定律。
掌握应力、应变之间的一般关系，为构件的 应力、应变、变形与强度分析提供理论基础。
7.1 引言
基本变形应力分析
1. 轴向拉压
同一横截面上各点应力相等：
=F
A
F
2. 圆轴扭转
C
E
应力圆上与两互相垂直平面相对应的点， 必位于同一直径的两端。
例题
y
30Mpa
40°
100 Mpa
x
20Mpa
x = 100MPa x = 20MPa
y = 30MPa
用图解法求解。
O
求斜截面上的正应力与切应力。（图中每一小格代表5Mpa）
80°
O
30 °
60MPa
30MPa 40MPa
DY
2
A
20
C
D = CDsin(2 + 2 0 )
D = AC sin 2 cos 2 0 + AC cos 2 sin 2 0
AC cos 2 0 = x
x+ y = x
y
2
2
AC sin 2 0 = x
D=
x
2
y sin 2 + x cos 2
D
O
D
D
2
A
20
C
B
B
90°
A
E
D
D
O
D
D
B
2
A
20
=
τmax
=
σ0 2
,σα
=
σ0 2
当α = π/2时： τα = σα = 0
在轴上某点不同方向的截面上，应力是不相同的。
一点处应力状态：通过受力构件的一点，不同方位 截面上的应力的集合
应力状态分析的任务：研究同一点处不同方位截面上 应力随截面方向的变化规律，找出该点上的最大正应力或 最大切应力值及其所在截面的方向。
A = OC + CA =
x+ 2
y+
最小正应力出现在B点
B = OC
BC
=
x+ y 2
最大最小正应力所在面互相垂直。
D
C
A
2
x
2
y ÷÷ +
2 x
2
x
2
y ÷÷ +
2 x
最大正应力所在截面的方位角 0。
OB E
D
20
C FA
a
x x
b
y
yd
E
x
D
x
0
c
y y
tan 2
0
=
DF CF
=
x
= 2x
x
(
x + y )2 2
2 + ( x y )2 2
2 x
R
c
( R = 1 2
x
)y
2 +4
2 x
O
x+ y 2
绘制应力圆的方法
y
y
B
σx
A
x
a( x , x)
O
c
b( y , y)
R
xC
xC =
+x
y
2
R=
2
x
y
2
2
x
几种对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应 着微单元体某一方向面（斜面）上的正应力和切 应力；
2sin cos = sin 2
并由切应力互等定理知 x = y
则：
= 1( 2
x
y
)
+
1 2
(
x
y ) cos 2 + x sin 2
= 1( 2
x
y )sin 2
x cos 2
应力的正负号规定
x
正应力的正 负号规定：
x
拉为正
x
x
压为负
x
y y
x
切应力的正负号规定：使 微单元体或其局部顺时针方向 转动为正；反之为负。
转向对应——半径旋转方向与方向面（斜 面）法线旋转方向一致；
二倍角对应——半径转过的角度是方向面 （斜面）旋转角度的两倍。
y y
Ax
x
点面对应
a c
y
y
n
x
x
D
x
A
a(σx,τx)
d2 c
转向对应 两倍角对应
证明
ty
n
A
x
B
D
D O
B
2
A
20
C
D = OC + CD cos(2 + 2 0 ) CD = AC D = OC + AC cos(2 + 2 0 )
平面应力状态分析的解析法 平面应力状态分析的图解法
什么是平面应力状态？
在微单元体的六个侧面上，仅在四个侧面上作用 有应力，而且这些应力的作用线均平行于微单元体的 不受力表面，这种应力状态称为平面应力状态。
x x
y y x x
y y
x x
y y x x
y y
一、解析法求平面应力状态斜截面上的应力
x x
y y x x
y y
y
a
x x
b
y
yd
x x
c
y
y
x x
y x x
y
y
ef 为垂直于不受力侧面的平面。 （投影面垂直面）
y
a e
x
yd
x x
x
f
b
c
y
y
y
a e
x
yd
x x
x
f
b
c
y
y
平面应力状态 中的斜截面
e
n
x x
t
b
f
y
y
带有斜截面的 平衡体
微单元体局部平衡方程的建立
平衡对象：用α斜截面截取的微元体局部
研究一点处的应力状态时，通常用围绕该点截取 的微单元体（微正六面体）为研究对象。
A
y
y面
dy
微单元体的特点： z
（1）各个面上的应力均匀分布；
z面 x面 x
dz
dx
（2）相互平行的平面上，应力的大小和性质完全相同。
（3）互相垂直的两个侧面上切应力服从切应力互等定理。
一点处的应力状态举例
F
A
围绕A点取一微小单元体。
e
n
x x
t
b
f
y
y
x dA cos x dA cos
y dA sin
dA dA
y dA sin
参加平衡的量：应力乘以其作用面积
平衡方程：
Fn = 0
Ft = 0
Fn = 0
xdA cos xdA cos
y dA sin
dA dA
y dA sin
dA + x (dAcos ) sin
x (dAcos ) cos +
C
60°
例：一点处应力状态如图所 示。用应力圆求解图示斜面上的
正应力和切应力 , 。
解：由图知，x与y截面的应力为
x = 30 , y 60 , x = 40, y = 40
作应力圆。 从 DX 点逆时针方向取
2α＝60°确定Dα。测量Dα点 的坐标得到：
DX
D
30o = 72MPa , 30ð =33MPa
= x+ y 2
x
2
y cos 2
+ x sin 2
= 60 40 60 40 cos(+60o) 30sin( 60ð)
2
2
= 9.02MPa
40
= x y sin 2 2
x cos 2
= 60 + 40 sin( 60o ) 30 cos( 60ð) 2
30 30° 60
= 58.3MPa
提示：在使用公式计算平面内任意方位上的应力分
较好的 塑性
斜截面 上最大 剪应力
扭转
低碳钢 铸铁
横截面断 斜截面断
裂
裂
横截面上 斜截面上
的最大剪 最大拉应
应力
力
例题： 求图示单元体的主应力及主平面的位置。
(单位：MPa)
解：主应力坐标系如图
在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
2
45 B 95
A
150° 25 3 0
1
B(45,25 3) AB的垂直平分线与
D = OC + AC cos(2 + 2 0 )
D
D = OC + AC cos 2 cos 2 0
D
AC sin 2 sin 2 0
O
AC cos 2 0 = x
x+ y = x
y
2
2
B
AC sin 2 0 = x
源自文库
D=
x+ 2
y+
x
2
y cos 2
x sin 2
平面应力状态下斜截面应力的一般公式
7.3 极值应力与主应力
单元体
应力圆
单元体某平面上的应力分量 应力圆某定点的坐标
单元体两平面间的夹角
应力圆两对应点所夹的中心角2
单元体的最大正应力值
应力圆与 轴交点的坐标
单元体的最大切应力值
应力圆的半径
a
x
y
y
d
x x
x
b
y
c
y
一、平面应力状态的极值应力
y
a
x
y
d
E
x
D
x
OB
x
b
c
y
E
y
最大正应力出现在A点
M
M
=T IP
max
T
3. 对称弯曲
=M y Iz
= FsS( ) bI z
同一横截面面上不同点处， 应力不同。
A×
max
max
F
A
B
L
F
轴向拉压斜截面上的应力 F
0
=
F A
0
= 0 cos2 = 0 sin 2
2
当α = 0时 : τα = 0,σα = σmax = σ0
当α
=
π/4时
:
τα
y
x
x+ y
2
考虑角a0的方向
tan 2 0 =
2x
x
y
切应力极值
OB E
G D
20
C FA
H
2
G=
x
2
y ÷÷ +
2 x
2
H=
x
2
y ÷÷ +
2 x
最大最小切应力截面互相垂直 与正应力极值截面成45°夹角。
切应力最大与最小的截面上，正应力大小相等。
二、主平面和主应力的概念 主平面：切应力等于零的面称为主平面。
灰口铸铁 : Lb = 98 ~ 280 MPa yb = 640 ~ 960 MPa ; b = 198 ~ 300 MPa
试验
拉伸
压缩
材料 低碳钢 铸铁 低碳钢 铸铁
现象 表面的 横截面 试样压 斜截面
滑移线 断裂 扁
断裂
原因
斜截面 上最大 剪应力
较低的拉伸 强度极限； 横截面上拉 伸正应力最 大
α角的正负号规定：由x正向 逆时针转到x’正向者为正；反之 为负。
40
30 30°
例：一点处的应力状态如图 60 所示。试求图示斜面上的应力。
（应力单位为MPa）
解：由图示点的应力状态可知
x = 60MPa， y = 40MPa, x = 30MPa, = 30 o。
代入公式可求得图示斜面上的正应力和切应力。
若只有一个主应力不等于零，称为单向应力状态；
若有两个主应力不等于零，称为二向或平面应力状态；
若三个主应力都不为零，则称为三向或空间应力状态。
单向应力状态也称为简单应力状态，二向或三向应力状态则
统称为复杂应力状态。
2
2
1
11
11
1
2 = 3 =0
2
3 =0
2
3 =0
例：一点处的应力状态如图所示。
已知