第一专题：数学认知结构
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图式有简单和复杂、抽象和具体、高级和低 级之分。简单的图式可以只是一个字符,复杂的图 式可以由几个子图式构成。
3.数学认知结构与数学知识结构的区别： (1)表达形式不同 数学知识结构是以数学符号语言为载体来 表达和记载的； 数学认知结构则是数学知识结构在学习 者脑中的反映，它以概念言语信息和与之相 对应的数学表象信息两种方式贮存于长时记 忆中.
什么是元认知？
元认知（metacognition)：关于认知的认知. 是主体对自身认知活动的认知。它包括 1.元认知知识：有关认知的知识，即个 体关于自己的认知能力、认知策略的知识. 2.元认知体验：伴随着认知活动的认知 体验或情感体验。包括意识到的、能表达的 和模糊的、表达不清的体验.
3.元认知监控：个体对自身学习过程的 有效监视、控制和调节.
a
a
良好的概念图式是由一系列反映概念本质属 性的观念组成。 比如， a 的教学本质是帮助学生建构起认知 图式：“ a 是一个数；它不会是负的； 它的平方等于 a ；在数轴上它可能是原点 x 都是表示 也可能在原点的右边； 和 a 一个数的符号，他们没有什么不同；……”
“ loga N 是一个数；它可正可负；……” 字母 a 的图式是……
英国数学家Griffiths 在讨论数学中的直觉和 领悟时曾提出，数学中最常用的思维媒介是数 学结构的模型和实例。他认为，对初学者来 说，几何图形比代数符号更容易掌握接受。
他的结论是：“领悟数学理论看来涉及认识该 理论在物理、几何及数学的一些更熟悉、更容 易理解的那些部分中的一个模型。例如，利用 数轴来认识不等式 的解。
数学表象与数学的外部表征密切相关 1.数学的外部表征 数学的外部表征是指传递知识、思想而使用 的外部交流工具。 例如，在教师讲解时，使用了口头语言，并写 下文字、符号，画出图形、图象，还可能展 示实物或数学模型。这些东西对于学生来说， 就是数学的外部表征。
Bruner认为，数学对象的表征有三类：动作 表征、映像表征、符号表征，并且它们是按 这样的前后顺序出现和发展的。
数学家反省报告表明： 数学思维是借助于言语符号激活表象而进 行的。言语符号图形是外部表征，而表象则 是内部表征。表象是数学思维的核心元素。 Hadamard的调查表明： 几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用 语言，甚至还避免使用代数符号或任何其它 的固定符号。总是运用模糊的表象进行思考.
学生学习时是如何表征的？
心理学家将人们头脑中对外界事物的描述称 为表征[1]， [1] 约翰.安德森．认知心理学及其启示 [M]．秦裕林等译．人民邮电出版社， 145．
3.认知策略图式
（2）元认知策略 ①制定认知计划 ②实际控制认知过程 ③及时检查认知结果 ④及时调整认知计划 ⑤在认知活动偏离目标时采取补救措 施，对自己的注意力或行为进行自我管理.
Kruteskii（1984）在研究中也曾提到人的两 种不同的思维方式或习惯：语言－ 逻辑方式 和视觉－ 图形方式。 他把倾向于语言－逻辑思考方式的学生称为 “分析型”，把倾向于视觉－图形思考方式 的学生称为“几何型”。还有一些学生并不 偏爱某一种方式，他称之为“协调型”。 分析型的学生的言语系统比较发达 几何型的学生的表象系统比较发达
数学认知结构
内 容 纲 要
一、什么是数学认知结构 二、数学认知结构的基本形态 三、数学认知结构的元素 四、数学认知结构的作用 五、数学认知结构的优化
一、什么是数学认知结构[2]
1.数学知识结构：
指的是由数学的概念、公式、法则、定理和性 质等知识内容构成的结构系统，它反映了现实世 界中事物在数量关系和空间形式以及在此基础之 上形成的结构等方面的内部联系和规律，是客观 存在的东西，不以我们的意志为转移.
学生学习时是如何表征的？
1993年Brown等（PME17）对学生进行数学推 理时所利用的意象问题报告了研究结果，归纳 出学生常用的五种意象： 具体意象 记忆意象 动觉意象 动态意象 模型意象
具体意象是指思维中的图像（视觉形象） 记忆意象就是静态视觉意象。 学生利用强记能力，在思维中以视觉再现公 式、框图、算法等。 动觉意象表现为一种肌肉活动。动作操作 动态意象是在心理上出现移动的视觉意象。 如图形的平移，旋转等。
（2）从创造的角度来看，分成
记忆表象：对客体的一种主观经验（视觉的，听觉的 等等）这个客体对于经历过这种经验的人来说，曾经 作为一种刺激存在过，但现在并不存在于知觉的领域 中。（如“父亲”）
创造表象：对一个客体的主观经验，而这个客体对于 经历过这种经验的人来说，从来没作为一种刺激存在 过，它是一种想象出来的客体。如“美人鱼” 。
Davis认为，记忆中存贮的信息的形式有三种 既不排斥、也不包含的可能性： （1）信息以语言文字、命题的方式存贮； （2）信息以图画的方式存贮； （3）信息的存贮既不是词句形式，也不是图 画形式。 Poincare（1988）认为存在两种思维类型： “逻辑主义者”的思维方式和“直觉主义者” 的思维方式。 在学生中也有类似的差别，一种人偏爱用 “解析学”方式处理问题，另一类人偏爱用 “几何学”方式来处理。
元认知和认知的区别：
1.认知活动的内容是对认知对象进行某种智 力操作； 元认知活动的内容是对认知活动进行监控与 调节. 2.认知活动的对象较具体；元认知活动的对 象是抽象的认知过程. 3.认知的目的是取得认知活动的进展；而元认 知是监控认知活动的进展并间接地促进这种进展. （检查一遍，验算）
三、数学认知结构的元素
模式意象则是抽象的意象，不需利用具体工具.
(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)
形式运算表象：（外积+内积，尾积） (a+b)(c+d)=ac+bd+bc+ad的三种记忆方式[6]： 示意编码（先用a去乘，再用 b去乘„„） 图形编码（大小矩形的面积关系） 标签编码（前前+后后+里里+外外）
(2)形成的过程不同 数学知识结构是人类数学历史发展的产 物，是数学成果的积累、概括与总结，其过 程往往需要数百年甚至更长的时间； 数学认知结构则主要是学习者在学习数学 知识结构的过程中逐步积累起来的,可以在较 短的时间内完成.
（3）数学知识结构是对客观世界在数学方面 的反映，具有准确的科学性、严谨的逻辑性 和完备的系统性,它是客观的,不以个人的意 志为转移； 数学认知结构则是学习者对数学知识结 构的主观反映，有鲜明的个人特色.
认知结构的另一名称——图式
Piaget:图式指相对稳定的以动作为主的认知结构 组织.（物理动作、思想动作） 图式是指个体对世界的知觉、理解和思考的方式. 可以把图式看作是心理活动的框架或组织结构. 图式是认知结构的起点和核心，或者说是人 类认识事物的基础。 图式的形成和变化是认知发展的实质。
认知结构的另一名称——图式 Robert M.Gagne:图式是以适当方式组 织起来的言语信息，以便于学习者能表征问 题. 实际上，图式是一些观念及其关系的集 合，并形成学习者“可用来理解”的类别。
（三）符号表征是依靠语言符号来表现的认知. 客观对象经过人知觉后就形成心理映象 （知觉形象或表象），通过刺激反应学习，就 在表象和语言符号之间建立联结，也即是说将 表象同主体相分离，物化为语言符号，于是就 在客观对象和语言符号之间建立了刺激反应联 结. 它具有抽象性、概括性、间接性和任意性的 特点.布鲁纳将其视为认知发展的第三阶段或知 识掌握的最高水平.
二、数学认知结构的基本形态
1.概念图式 2.原理图式 3.认知策略图式
1.概念图式
概念图式由一些反映概念属性的观念组成. 概念图式中观念的多少、观念的准确与 否、观念的深刻程度是反映概念理解水平的 重要因素。
1.概念图式
概念的层次结构： 按抽象程度和类别将概念划分为一级一 级的层次。 概念的语义网络结构： 以语义联系或语义相似性将概念组织起 来。
（1）动作表征是通过适当的活动反应，表示 过去的事件的表征方式，它具有具体性、物 质性的特点。 动作表征是通过动作操作来认识事物。
（2）映象表征，是指通过心理表象来认知事 物,即使用心理表象作为某些客体的替代物. 它是比动作表征高一级的认知方式. 映象表征是在动作表征的基础之上经过内 化、记忆的作用而发展形成的. 映象表征是比动作表征更复杂的认知形式. 在动作表征中，一个刺激只产生一个反应（认 识）.但在映象表征中，对一个刺激可以对它所 具有的两个侧面同时作出反应.
数学认知结构中的基本元素称为节点，它 可能是言语信息，也可能是表象信息。
我们把主体在数学活动中的心象叫做数学表 象（mathematical image）。
数学表象是人脑对数学物象进行形式结构
的特征概括而得到的观念性形象。它是通过 逻辑思维的渗透和数学语言作物质外壳，运 用典型化的手段概括了的理想化形象。
Lesh在Bruner的理论基础上将表征方法发展为 五种，分别是书面符号、口头语言、操作性 模型、图形和实物。
他认为，这5种表征方法之间不一定存在先后 的发展次序，主要应重视它们之间的转换和 相互影响，因为这种转换和影响对于学生的 概念形成和理解有重要的意义.（如图2－9） 知识的这些外部表征及其转换和联系，将共 同参与学生的思考活动，被他们选取、改造 和适应，转变为心理上的表征。
从数学的立场上看，思维表象与数学对象本 身存在着一定的差距，但是，表象并不像某 些人认为的是“表面现象”。心理学方面的 深入研究认为，表象并不只是思考时借用的 “思维图象”，或只是从记忆恢复出来的直 观东西，它还具有更深刻的意义。
Piag源自文库t曾将表象划分为不同层次的三种类型： 第一种是由内化的模仿活动形成的表象。
2.数学思维的媒介——心理表象
现代认知理论认为，长期记忆中的信息形态 是一种“语义象征”。对应于“输入信息一 长期记忆一输出信息”的过程，在大多数情 况下，它的内容经历了“输入词语一语义象 征一输出词语”的过程。 当学习发生的时候，学生实际上是在对书本 和教师传达的信息进行各自的加工和编码， 形成自己的有关该概念的语义象征，并且利 用它进行记忆和思考，也就是说，描述概念 时要用语言，但想象时使用的是语义象征。
第二种是通过基本的思想实验来建立的表象， 这时它不仅起代表对象的作用，而且表示了 心理上操作活动的发展的阶段或结果。
第三种是思维运算的动态的符号，利用它能够 支持和推进思想实验和推理。
数学表象：主体在数学活动中的心象。它是数 学形象思维的心理元素。[2] 对数学表象的分类有以下几种： （1）按材料内容的不同来分： 图形表象:人脑对几何图形感知而形成的表象. 图式表象:对数学式子，结构，关系，模型感 知而形成的表象。
（1）一般认知策略 （2）元认知策略
3.认知策略图式
（1）一般认知策略 ①复述策略 ②精加工策略：给学习内容赋予意义， 构建联系. 如：人为联想、做摘录、划线、 列提纲与标题、提问、记笔记. ③组织策略.如形成概念图、分类、类推 、叙事、概括.
④解决问题的策略
如表征问题的策略、波利亚的策略、奥加涅 相的策略、舍费尔德的策略、化陌生为熟悉的观 念、化繁为简的观念、特殊与一般的互化的观 念、正难则反的观念、顺推与逆推之结合的观 念、动静之转化的观念
2.数学认知结构：
数学认知结构，是学习者头脑里的数学 知识结构，它是学习者在学习的过程中逐步 积累起来的在数学方面的主观经验系统，它 反映了学习者对数学的理解和看法.
认知结构的另一名称——图式 John.Best ：图式（schema）是指贮存 于长时记忆中的那些组织良好的（关于自然 界、事件、人物和行动的）知识组快。它标 明类别成员的实质并隐含着可用于接收或组 织新刺激的计划或预期的一个术语.
2.原理图式
原理图式由一些反映原理属性的观念组成。 原理图式中观念的多少、观念的准确与 否、观念的深刻程度是反映原理理解水平的 重要因素。 勾股定理的各种图式……
勾股定理的各种图式： 低级的图式： 言语图式…… 符号图式…… 图形图式…… 高级的图式： 产生式…… 结构图式……
3.认知策略图式
3.数学认知结构与数学知识结构的区别： (1)表达形式不同 数学知识结构是以数学符号语言为载体来 表达和记载的； 数学认知结构则是数学知识结构在学习 者脑中的反映，它以概念言语信息和与之相 对应的数学表象信息两种方式贮存于长时记 忆中.
什么是元认知？
元认知（metacognition)：关于认知的认知. 是主体对自身认知活动的认知。它包括 1.元认知知识：有关认知的知识，即个 体关于自己的认知能力、认知策略的知识. 2.元认知体验：伴随着认知活动的认知 体验或情感体验。包括意识到的、能表达的 和模糊的、表达不清的体验.
3.元认知监控：个体对自身学习过程的 有效监视、控制和调节.
a
a
良好的概念图式是由一系列反映概念本质属 性的观念组成。 比如， a 的教学本质是帮助学生建构起认知 图式：“ a 是一个数；它不会是负的； 它的平方等于 a ；在数轴上它可能是原点 x 都是表示 也可能在原点的右边； 和 a 一个数的符号，他们没有什么不同；……”
“ loga N 是一个数；它可正可负；……” 字母 a 的图式是……
英国数学家Griffiths 在讨论数学中的直觉和 领悟时曾提出，数学中最常用的思维媒介是数 学结构的模型和实例。他认为，对初学者来 说，几何图形比代数符号更容易掌握接受。
他的结论是：“领悟数学理论看来涉及认识该 理论在物理、几何及数学的一些更熟悉、更容 易理解的那些部分中的一个模型。例如，利用 数轴来认识不等式 的解。
数学表象与数学的外部表征密切相关 1.数学的外部表征 数学的外部表征是指传递知识、思想而使用 的外部交流工具。 例如，在教师讲解时，使用了口头语言，并写 下文字、符号，画出图形、图象，还可能展 示实物或数学模型。这些东西对于学生来说， 就是数学的外部表征。
Bruner认为，数学对象的表征有三类：动作 表征、映像表征、符号表征，并且它们是按 这样的前后顺序出现和发展的。
数学家反省报告表明： 数学思维是借助于言语符号激活表象而进 行的。言语符号图形是外部表征，而表象则 是内部表征。表象是数学思维的核心元素。 Hadamard的调查表明： 几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用 语言，甚至还避免使用代数符号或任何其它 的固定符号。总是运用模糊的表象进行思考.
学生学习时是如何表征的？
心理学家将人们头脑中对外界事物的描述称 为表征[1]， [1] 约翰.安德森．认知心理学及其启示 [M]．秦裕林等译．人民邮电出版社， 145．
3.认知策略图式
（2）元认知策略 ①制定认知计划 ②实际控制认知过程 ③及时检查认知结果 ④及时调整认知计划 ⑤在认知活动偏离目标时采取补救措 施，对自己的注意力或行为进行自我管理.
Kruteskii（1984）在研究中也曾提到人的两 种不同的思维方式或习惯：语言－ 逻辑方式 和视觉－ 图形方式。 他把倾向于语言－逻辑思考方式的学生称为 “分析型”，把倾向于视觉－图形思考方式 的学生称为“几何型”。还有一些学生并不 偏爱某一种方式，他称之为“协调型”。 分析型的学生的言语系统比较发达 几何型的学生的表象系统比较发达
数学认知结构
内 容 纲 要
一、什么是数学认知结构 二、数学认知结构的基本形态 三、数学认知结构的元素 四、数学认知结构的作用 五、数学认知结构的优化
一、什么是数学认知结构[2]
1.数学知识结构：
指的是由数学的概念、公式、法则、定理和性 质等知识内容构成的结构系统，它反映了现实世 界中事物在数量关系和空间形式以及在此基础之 上形成的结构等方面的内部联系和规律，是客观 存在的东西，不以我们的意志为转移.
学生学习时是如何表征的？
1993年Brown等（PME17）对学生进行数学推 理时所利用的意象问题报告了研究结果，归纳 出学生常用的五种意象： 具体意象 记忆意象 动觉意象 动态意象 模型意象
具体意象是指思维中的图像（视觉形象） 记忆意象就是静态视觉意象。 学生利用强记能力，在思维中以视觉再现公 式、框图、算法等。 动觉意象表现为一种肌肉活动。动作操作 动态意象是在心理上出现移动的视觉意象。 如图形的平移，旋转等。
（2）从创造的角度来看，分成
记忆表象：对客体的一种主观经验（视觉的，听觉的 等等）这个客体对于经历过这种经验的人来说，曾经 作为一种刺激存在过，但现在并不存在于知觉的领域 中。（如“父亲”）
创造表象：对一个客体的主观经验，而这个客体对于 经历过这种经验的人来说，从来没作为一种刺激存在 过，它是一种想象出来的客体。如“美人鱼” 。
Davis认为，记忆中存贮的信息的形式有三种 既不排斥、也不包含的可能性： （1）信息以语言文字、命题的方式存贮； （2）信息以图画的方式存贮； （3）信息的存贮既不是词句形式，也不是图 画形式。 Poincare（1988）认为存在两种思维类型： “逻辑主义者”的思维方式和“直觉主义者” 的思维方式。 在学生中也有类似的差别，一种人偏爱用 “解析学”方式处理问题，另一类人偏爱用 “几何学”方式来处理。
元认知和认知的区别：
1.认知活动的内容是对认知对象进行某种智 力操作； 元认知活动的内容是对认知活动进行监控与 调节. 2.认知活动的对象较具体；元认知活动的对 象是抽象的认知过程. 3.认知的目的是取得认知活动的进展；而元认 知是监控认知活动的进展并间接地促进这种进展. （检查一遍，验算）
三、数学认知结构的元素
模式意象则是抽象的意象，不需利用具体工具.
(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)
形式运算表象：（外积+内积，尾积） (a+b)(c+d)=ac+bd+bc+ad的三种记忆方式[6]： 示意编码（先用a去乘，再用 b去乘„„） 图形编码（大小矩形的面积关系） 标签编码（前前+后后+里里+外外）
(2)形成的过程不同 数学知识结构是人类数学历史发展的产 物，是数学成果的积累、概括与总结，其过 程往往需要数百年甚至更长的时间； 数学认知结构则主要是学习者在学习数学 知识结构的过程中逐步积累起来的,可以在较 短的时间内完成.
（3）数学知识结构是对客观世界在数学方面 的反映，具有准确的科学性、严谨的逻辑性 和完备的系统性,它是客观的,不以个人的意 志为转移； 数学认知结构则是学习者对数学知识结 构的主观反映，有鲜明的个人特色.
认知结构的另一名称——图式
Piaget:图式指相对稳定的以动作为主的认知结构 组织.（物理动作、思想动作） 图式是指个体对世界的知觉、理解和思考的方式. 可以把图式看作是心理活动的框架或组织结构. 图式是认知结构的起点和核心，或者说是人 类认识事物的基础。 图式的形成和变化是认知发展的实质。
认知结构的另一名称——图式 Robert M.Gagne:图式是以适当方式组 织起来的言语信息，以便于学习者能表征问 题. 实际上，图式是一些观念及其关系的集 合，并形成学习者“可用来理解”的类别。
（三）符号表征是依靠语言符号来表现的认知. 客观对象经过人知觉后就形成心理映象 （知觉形象或表象），通过刺激反应学习，就 在表象和语言符号之间建立联结，也即是说将 表象同主体相分离，物化为语言符号，于是就 在客观对象和语言符号之间建立了刺激反应联 结. 它具有抽象性、概括性、间接性和任意性的 特点.布鲁纳将其视为认知发展的第三阶段或知 识掌握的最高水平.
二、数学认知结构的基本形态
1.概念图式 2.原理图式 3.认知策略图式
1.概念图式
概念图式由一些反映概念属性的观念组成. 概念图式中观念的多少、观念的准确与 否、观念的深刻程度是反映概念理解水平的 重要因素。
1.概念图式
概念的层次结构： 按抽象程度和类别将概念划分为一级一 级的层次。 概念的语义网络结构： 以语义联系或语义相似性将概念组织起 来。
（1）动作表征是通过适当的活动反应，表示 过去的事件的表征方式，它具有具体性、物 质性的特点。 动作表征是通过动作操作来认识事物。
（2）映象表征，是指通过心理表象来认知事 物,即使用心理表象作为某些客体的替代物. 它是比动作表征高一级的认知方式. 映象表征是在动作表征的基础之上经过内 化、记忆的作用而发展形成的. 映象表征是比动作表征更复杂的认知形式. 在动作表征中，一个刺激只产生一个反应（认 识）.但在映象表征中，对一个刺激可以对它所 具有的两个侧面同时作出反应.
数学认知结构中的基本元素称为节点，它 可能是言语信息，也可能是表象信息。
我们把主体在数学活动中的心象叫做数学表 象（mathematical image）。
数学表象是人脑对数学物象进行形式结构
的特征概括而得到的观念性形象。它是通过 逻辑思维的渗透和数学语言作物质外壳，运 用典型化的手段概括了的理想化形象。
Lesh在Bruner的理论基础上将表征方法发展为 五种，分别是书面符号、口头语言、操作性 模型、图形和实物。
他认为，这5种表征方法之间不一定存在先后 的发展次序，主要应重视它们之间的转换和 相互影响，因为这种转换和影响对于学生的 概念形成和理解有重要的意义.（如图2－9） 知识的这些外部表征及其转换和联系，将共 同参与学生的思考活动，被他们选取、改造 和适应，转变为心理上的表征。
从数学的立场上看，思维表象与数学对象本 身存在着一定的差距，但是，表象并不像某 些人认为的是“表面现象”。心理学方面的 深入研究认为，表象并不只是思考时借用的 “思维图象”，或只是从记忆恢复出来的直 观东西，它还具有更深刻的意义。
Piag源自文库t曾将表象划分为不同层次的三种类型： 第一种是由内化的模仿活动形成的表象。
2.数学思维的媒介——心理表象
现代认知理论认为，长期记忆中的信息形态 是一种“语义象征”。对应于“输入信息一 长期记忆一输出信息”的过程，在大多数情 况下，它的内容经历了“输入词语一语义象 征一输出词语”的过程。 当学习发生的时候，学生实际上是在对书本 和教师传达的信息进行各自的加工和编码， 形成自己的有关该概念的语义象征，并且利 用它进行记忆和思考，也就是说，描述概念 时要用语言，但想象时使用的是语义象征。
第二种是通过基本的思想实验来建立的表象， 这时它不仅起代表对象的作用，而且表示了 心理上操作活动的发展的阶段或结果。
第三种是思维运算的动态的符号，利用它能够 支持和推进思想实验和推理。
数学表象：主体在数学活动中的心象。它是数 学形象思维的心理元素。[2] 对数学表象的分类有以下几种： （1）按材料内容的不同来分： 图形表象:人脑对几何图形感知而形成的表象. 图式表象:对数学式子，结构，关系，模型感 知而形成的表象。
（1）一般认知策略 （2）元认知策略
3.认知策略图式
（1）一般认知策略 ①复述策略 ②精加工策略：给学习内容赋予意义， 构建联系. 如：人为联想、做摘录、划线、 列提纲与标题、提问、记笔记. ③组织策略.如形成概念图、分类、类推 、叙事、概括.
④解决问题的策略
如表征问题的策略、波利亚的策略、奥加涅 相的策略、舍费尔德的策略、化陌生为熟悉的观 念、化繁为简的观念、特殊与一般的互化的观 念、正难则反的观念、顺推与逆推之结合的观 念、动静之转化的观念
2.数学认知结构：
数学认知结构，是学习者头脑里的数学 知识结构，它是学习者在学习的过程中逐步 积累起来的在数学方面的主观经验系统，它 反映了学习者对数学的理解和看法.
认知结构的另一名称——图式 John.Best ：图式（schema）是指贮存 于长时记忆中的那些组织良好的（关于自然 界、事件、人物和行动的）知识组快。它标 明类别成员的实质并隐含着可用于接收或组 织新刺激的计划或预期的一个术语.
2.原理图式
原理图式由一些反映原理属性的观念组成。 原理图式中观念的多少、观念的准确与 否、观念的深刻程度是反映原理理解水平的 重要因素。 勾股定理的各种图式……
勾股定理的各种图式： 低级的图式： 言语图式…… 符号图式…… 图形图式…… 高级的图式： 产生式…… 结构图式……
3.认知策略图式