5.3 向量的投影、方向角与方向余弦

ax cos a a
ax a a a
2 x 2 y 2 z
,
cos b
ay a

ay a a a
2 x 2 y 2 z
,
az az cos , 2 2 2 a a x a y az
cos a cos b cos 1
2 2 2
例5-4

设向量a的两个方向角为
第3节 向量的投影、方 向角与方向余弦
一、向量的投影 二、方向角与方向余弦

一、 向量的投影
规定向量 a , b 的正方向之间不超过 180º的
夹角.设 a , b 的夹角为 , 则a cos称为向量 a在向量b上的投影,记为ab,即有
ab a cos
如下图5-8所示.类似地 ba b cos
a a
(a)

(b)
ab
b 图5-8

ab
b
二、方向角与方向余弦
那么它的终点 a 的起点放在坐标原点， 坐标A 的坐标就是(ax , ay , az). 由两点间距 离公式可知
R
2 2 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ OA a x a2 a y z .
z
A

O
P x
b a
Q y
非零向量 a 与三坐标轴正向的夹角 a 、b 、 (其中0 ≤a ≤ , 0 ≤ b ≤ , 0 ≤ ≤ )，称为向量 a 的方向角; 这三个角的余弦 cos a、cos b、cos 称为向量a 的方向余弦.所以

a 60 , b 30 , 求 .
解
2
由cos a cos b cos 1,
2 2 2
2 0 2 0
1 3 cos 1 cos 60 cos 30 1 0 4 4
故

2
,即 向 量 a与z轴 垂 直 .