多边形的外角和
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α、β、γ、δ的值最多能有三个大于 °， 、 、 、 的值最多能有三个大于 的值最多能有三个大于90°
否则α、 、 、 都大于 都大于90° 否则 、β、γ、δ都大于 °. α+β+γ+δ＞360°. ＞ ° 同理最多能有三个角小于90° 同理最多能有三个角小于 °.
课堂练习: 课堂练习
1.一个多边形的外角都等于 °，这个多边形 一个多边形的外角都等于60° 一个多边形的外角都等于 边形？ 是几边形？
解：设这个正多边形的一个内角为x°， 设这个正多边形的一个内角为 ° 由题图得： 由题图得：3x=360. x=120.
再根据多边形的内角和公式得： 再根据多边形的内角和公式得： n×120°=(n－2)×180°. 解得 × ° － × ° 解得n=6 . 答:(略) 略
1、什么是多边形？多边形的外角？外角和？ 什么是多边形？多边形的外角？外角和？
因为多边形的外角和等于360°， 所以根据题意 ， 解 ： 因为多边形的外角和等于 ° 所以根据题意， 可知道这个多边形的边数是： 可知道这个多边形的边数是： 360÷60=6 .答:这个多边形是六边形 ÷ 答 这个多边形是六边形.
2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝 下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝 隙不重叠的图形的一部分， 隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边 为什么？ 形？为什么？
－ － (3) n(n－3) ＝ 10(10－3) ＝35 2 2
答 这个多边形是十边形，过一个顶点的 这个多边形是十边形， 对角线有7条 共有35条对角线 条对角线. 对角线有 条，共有 条对角线
巩固练习： 巩固练习：
1、一个十边形的每一个内角都相等， 、一个十边形的每一个内角都相等， 那么这个十边形的每一外角等于( 那么这个十边形的每一外角等于 C ) A、144° B、 A、144° B、 72 ° C、 36° D 、18° C、 36° 18° 2、一个多边形每一个外角都等于45°， 、一个多边形每一个外角都等于 ° 则这个多边形的内角和等于( 则这个多边形的内角和等于 C ) A、 720° B、 675° C、 1080°D、945° 、 ° 、 ° 、 ° 、 °
练习： 练习： 1.一个多边形的外角都是 °，则这个 一个多边形的外角都是45° 一个多边形的外角都是 多边形是几边形？ 多边形是几边形？ 2．多边形的每个外角都是相邻内角 ． 则此多边形是几边形？内角和、 的 1 ，则此多边形是几边形？内角和、 3 外角和分别是多少？ 外角和分别是多少？
四边形有几条对角线？ 例3 (1)四边形有几条对角线？ 四边形有几条对角线 (2)五边形有几条对角线？六边 E 五边形有几条对角线？ 五边形有几条对角线 形呢？ 边形呢 边形呢？ 形呢？n边形呢？ 解: (1)四边形有两条对角线， 四边形有两条对角线， 四边形有两条对角线
因为∠1+∠DAB＝∠2+∠CBA＝∠3+∠DCB＝∠4+∠ADC＝180° 因为∠1+∠DAB＝ 2+∠CBA＝ 3+∠DCB＝ 4+∠ADC＝180° D 4 3
又因为 ∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC=360° ∠ ∠ ∠ ° 四边形内角和等于360°） （四边形内角和等于 ° 所以∠ ∠ ∠ ∠ 所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°. °
多边形的内角和与外角和
第二课时
问题的指出
大家清晨跑步吗？ 大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持 跑步的好习惯，他怎样跑步呢？ 跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是 小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 按逆时针方向跑步的效果图. 按逆时针方向跑步的效果图 请你观察并 思考如下几个问题: 思考如下几个问题 B 2
在平面内， 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺 次相连组成的封闭图形叫做多边形。 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组 成的角叫做这个多边形的外角 多边形的外角.. 成的角叫做这个多边形的外角.. 在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 它们的和叫做这个多边形的外角和 多边形的外角和. 它们的和叫做这个多边形的外角和..
1 A 5 E 4
C 3
D
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身 小明每从一条街道转到下一条街道时， 小明每从一条街道转到下一条街道时 体转过的角是哪个角？在图中标出它们. 体转过的角是哪个角？在图中标出它们 (2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ 他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ 他每跑完一圈 (3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5 在上图中，你能求出 ∠ ∠ ∠ ∠ 在上图中 的大小吗 你是怎样得到的？ 的大小吗？你是怎样得到的？
C 2 1 B
A
四边形的外角和等于360°. ° 四边形的外角和等于
探索:分别求出下列多边形的外角和的度数. 探索:分别求出下列多边形的外角和的度数
1
1
1
1
2
4 3
4 3
5
2 3
6 5
3 2
4
360° °
2
360° °
360° °
360° °
多边形的 边数 多边形的 内角与外 角的总和 多边形的 内角和 多边形的 外角和
一个正多边形的一个内角比相邻外角大36° 例2 一个正多边形的一个内角比相邻外角大 °，求 这个正多边形的边数. 这个正多边形的边数 正多边形的各个内角都相等， 分析 正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都 相等，而多边形的外角和是360°. 相等，而多边形的外角和是 ° 解
设一个外角为x° 则内角为 设一个外角为 °，则内角为(x+36)° ° 因为多边形的内角与相邻的外角互补； 因为多边形的内角与相邻的外角互补； x+x+36=180 所以 x=72 解得 360÷72=5 ÷ 这个多边形的五边形. 答 这个多边形的五边形
例题赏析
［例1］一个多边形的内角和等于它的 例 一个多边形的内角和等于它的 外角和的3倍 它是几边形？ 外角和的 倍，它是几边形
边形， 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是 设这个多边形是 边形
(n－2)·180°,外角和等于 °， － 外角和等于360° ° 外角和等于 所以： － 所以：(n－2)·180=3×360 × 解得： 解得：n=8 答:这个多边形是八边形. 这个多边形是八边形
3
4
5
…
ຫໍສະໝຸດ Baidu
n n·180° °
° × ° 3×180° 4×180° 5×180° … × ° × ° ° ＝540° ＝720° ＝900° ° 180° ° 360° ° 360° ° 360° ° 540° ° 360° °
… (n－2)·180° － ° … 360° °
结论：n边形的内角与外角的总和为 边形的内角与外角的总和为n·180° 结论 边形的内角与外角的总和为 ° n边形的内角和为 边形的内角和为(n-2)·180°； 边形的内角和为 ° 那么多边形的外角和为 n·180°－(n－2)·180° ° － ° =n·180°－n·180°+360°=360° ° ° ° ° 因此，任意多边形的外角和都为 因此，任意多边形的外角和都为360°. ° 注：多边形的外角和与边数无关. 多边形的外角和与边数无关
已知多边形的内角和等于1440°， 例4 已知多边形的内角和等于 ° 这个多边形的边数， 求(1)这个多边形的边数， 这个多边形的边数 (2)过一个顶点有几条对角线， 过一个顶点有几条对角线， 过一个顶点有几条对角线 (3)总对角线条数 总对角线条数. 总对角线条数
解
设这个多边形是n边形 设这个多边形是 边形 (1)(n－2)·180°=1440° ° ° n=10 (2)n－3=10－3=7 －
A
D
C
B
(2)如图，以A为端点的对角线有两条 、AD同样以 如图， 同样以B 如图 为 点的对角线有两条AC、 同样以 为端点的对角线也有2条 为端点也有2条 为端点的对角线也有 条，以C为端点也有 条，但AC 为端点也有 是同一条线段， 为端点的两条DA、 与 、 与CA是同一条线段，以D为端点的两条 、DB与AD、 是同一条线段 为端点的两条 BD分别表示同一条线段，所以只有 条，以此类推六 分别表示同一条线段， 分别表示同一条线段 所以只有5条 边形有9条对角线 从以上分析可知从n边形的一个顶 条对角线， 边形有 条对角线，从以上分析可知从 边形的一个顶 点引对角线，可以引(n－ 条 那么n个顶点就有 个顶点就有n(n 点引对角线，可以引 －3)条，那么 个顶点就有 －3)条，但其中每一条都重复计算一次，所以 边形 条 但其中每一条都重复计算一次，所以n边形 n(n－3) － 条对角线. 一共有 条对角线 2
自测题: 自测题
3． 若一个凸多边形的内角和等于它的外角 ． 则它的边数是_______． 和，则它的边数是 4 ． 4． 如果一个多边形的每一个外角都相等 ， ． 如果一个多边形的每一个外角都相等， 并且它的内角和为2880° ， 那么它的内角为 并且它的内角和为 ° 160° ° _______． ． 5． 一个多边形的每个外角都是 ° ， 则这 ． 一个多边形的每个外角都是12° 30 边形 个多边形是________边形． 边形． 个多边形是 6．正n边形的一个内角为 °,那么 为( B ) 边形的一个内角为120° 那么 那么n为 ． 边形的一个内角为 A．5 B．6 C．7 D．8 ． ． ． ．
小 结
2、n边形的内角和与外角和是多少？ 边形的内角和与外角和是多少？
n边形的内角和等于(n － 2)•180° 边形的内角和等于(n 180° 多边形的外角和都等于360° 多边形的外角和都等于 °
1.已知一多边形的每一个内角都相等， 已知一多边形的每一个内角都相等， 已知一多边形的每一个内角都相等 2 它的外角等于内角的 3 ，求这个多边 形的边数； 形的边数； 2.一多边形内角和为 一多边形内角和为2340°，若每一个 ° 一多边形内角和为 内角都相等，求每个外角的度数. 内角都相等，求每个外角的度数
在四边形的四个内角中，最多能有几个 在四边形的四个内角中， 思考题 钝角？最多能有几个锐角？ 钝角？最多能有几个锐角？
解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角. 最多能有三个钝角，最多能有三个锐角 理由是： 理由是： 设四边形的四个内角的度数分别为： α°,β°,γ°,δ°, ° ° ° ° 则α+β+γ+δ=360°， °
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组 成的角叫做这个多边形的外角。
D
在每个顶点处取这个多 边形的一个外角， 边形的一个外角，它们的和 外角和。 叫做这个多边形的外角和。 如：四边形ABCD的外角和是 四边形 的外角和是 1+∠2+∠3+∠ ∠1+∠2+∠3+∠4
4
3 C
A 1
2 B
如图(1)四边形 如图 四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别 四边形 ， 、 、 、 分别 是四个外角， 的度数. 是四个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4的度数 ∠ ∠ ∠ 的度数
否则α、 、 、 都大于 都大于90° 否则 、β、γ、δ都大于 °. α+β+γ+δ＞360°. ＞ ° 同理最多能有三个角小于90° 同理最多能有三个角小于 °.
课堂练习: 课堂练习
1.一个多边形的外角都等于 °，这个多边形 一个多边形的外角都等于60° 一个多边形的外角都等于 边形？ 是几边形？
解：设这个正多边形的一个内角为x°， 设这个正多边形的一个内角为 ° 由题图得： 由题图得：3x=360. x=120.
再根据多边形的内角和公式得： 再根据多边形的内角和公式得： n×120°=(n－2)×180°. 解得 × ° － × ° 解得n=6 . 答:(略) 略
1、什么是多边形？多边形的外角？外角和？ 什么是多边形？多边形的外角？外角和？
因为多边形的外角和等于360°， 所以根据题意 ， 解 ： 因为多边形的外角和等于 ° 所以根据题意， 可知道这个多边形的边数是： 可知道这个多边形的边数是： 360÷60=6 .答:这个多边形是六边形 ÷ 答 这个多边形是六边形.
2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝 下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝 隙不重叠的图形的一部分， 隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边 为什么？ 形？为什么？
－ － (3) n(n－3) ＝ 10(10－3) ＝35 2 2
答 这个多边形是十边形，过一个顶点的 这个多边形是十边形， 对角线有7条 共有35条对角线 条对角线. 对角线有 条，共有 条对角线
巩固练习： 巩固练习：
1、一个十边形的每一个内角都相等， 、一个十边形的每一个内角都相等， 那么这个十边形的每一外角等于( 那么这个十边形的每一外角等于 C ) A、144° B、 A、144° B、 72 ° C、 36° D 、18° C、 36° 18° 2、一个多边形每一个外角都等于45°， 、一个多边形每一个外角都等于 ° 则这个多边形的内角和等于( 则这个多边形的内角和等于 C ) A、 720° B、 675° C、 1080°D、945° 、 ° 、 ° 、 ° 、 °
练习： 练习： 1.一个多边形的外角都是 °，则这个 一个多边形的外角都是45° 一个多边形的外角都是 多边形是几边形？ 多边形是几边形？ 2．多边形的每个外角都是相邻内角 ． 则此多边形是几边形？内角和、 的 1 ，则此多边形是几边形？内角和、 3 外角和分别是多少？ 外角和分别是多少？
四边形有几条对角线？ 例3 (1)四边形有几条对角线？ 四边形有几条对角线 (2)五边形有几条对角线？六边 E 五边形有几条对角线？ 五边形有几条对角线 形呢？ 边形呢 边形呢？ 形呢？n边形呢？ 解: (1)四边形有两条对角线， 四边形有两条对角线， 四边形有两条对角线
因为∠1+∠DAB＝∠2+∠CBA＝∠3+∠DCB＝∠4+∠ADC＝180° 因为∠1+∠DAB＝ 2+∠CBA＝ 3+∠DCB＝ 4+∠ADC＝180° D 4 3
又因为 ∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC=360° ∠ ∠ ∠ ° 四边形内角和等于360°） （四边形内角和等于 ° 所以∠ ∠ ∠ ∠ 所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°. °
多边形的内角和与外角和
第二课时
问题的指出
大家清晨跑步吗？ 大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持 跑步的好习惯，他怎样跑步呢？ 跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是 小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 按逆时针方向跑步的效果图. 按逆时针方向跑步的效果图 请你观察并 思考如下几个问题: 思考如下几个问题 B 2
在平面内， 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺 次相连组成的封闭图形叫做多边形。 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组 成的角叫做这个多边形的外角 多边形的外角.. 成的角叫做这个多边形的外角.. 在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 它们的和叫做这个多边形的外角和 多边形的外角和. 它们的和叫做这个多边形的外角和..
1 A 5 E 4
C 3
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(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身 小明每从一条街道转到下一条街道时， 小明每从一条街道转到下一条街道时 体转过的角是哪个角？在图中标出它们. 体转过的角是哪个角？在图中标出它们 (2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ 他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ 他每跑完一圈 (3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5 在上图中，你能求出 ∠ ∠ ∠ ∠ 在上图中 的大小吗 你是怎样得到的？ 的大小吗？你是怎样得到的？
C 2 1 B
A
四边形的外角和等于360°. ° 四边形的外角和等于
探索:分别求出下列多边形的外角和的度数. 探索:分别求出下列多边形的外角和的度数
1
1
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360° °
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多边形的 边数 多边形的 内角与外 角的总和 多边形的 内角和 多边形的 外角和
一个正多边形的一个内角比相邻外角大36° 例2 一个正多边形的一个内角比相邻外角大 °，求 这个正多边形的边数. 这个正多边形的边数 正多边形的各个内角都相等， 分析 正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都 相等，而多边形的外角和是360°. 相等，而多边形的外角和是 ° 解
设一个外角为x° 则内角为 设一个外角为 °，则内角为(x+36)° ° 因为多边形的内角与相邻的外角互补； 因为多边形的内角与相邻的外角互补； x+x+36=180 所以 x=72 解得 360÷72=5 ÷ 这个多边形的五边形. 答 这个多边形的五边形
例题赏析
［例1］一个多边形的内角和等于它的 例 一个多边形的内角和等于它的 外角和的3倍 它是几边形？ 外角和的 倍，它是几边形
边形， 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是 设这个多边形是 边形
(n－2)·180°,外角和等于 °， － 外角和等于360° ° 外角和等于 所以： － 所以：(n－2)·180=3×360 × 解得： 解得：n=8 答:这个多边形是八边形. 这个多边形是八边形
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
n n·180° °
° × ° 3×180° 4×180° 5×180° … × ° × ° ° ＝540° ＝720° ＝900° ° 180° ° 360° ° 360° ° 360° ° 540° ° 360° °
… (n－2)·180° － ° … 360° °
结论：n边形的内角与外角的总和为 边形的内角与外角的总和为n·180° 结论 边形的内角与外角的总和为 ° n边形的内角和为 边形的内角和为(n-2)·180°； 边形的内角和为 ° 那么多边形的外角和为 n·180°－(n－2)·180° ° － ° =n·180°－n·180°+360°=360° ° ° ° ° 因此，任意多边形的外角和都为 因此，任意多边形的外角和都为360°. ° 注：多边形的外角和与边数无关. 多边形的外角和与边数无关
已知多边形的内角和等于1440°， 例4 已知多边形的内角和等于 ° 这个多边形的边数， 求(1)这个多边形的边数， 这个多边形的边数 (2)过一个顶点有几条对角线， 过一个顶点有几条对角线， 过一个顶点有几条对角线 (3)总对角线条数 总对角线条数. 总对角线条数
解
设这个多边形是n边形 设这个多边形是 边形 (1)(n－2)·180°=1440° ° ° n=10 (2)n－3=10－3=7 －
A
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(2)如图，以A为端点的对角线有两条 、AD同样以 如图， 同样以B 如图 为 点的对角线有两条AC、 同样以 为端点的对角线也有2条 为端点也有2条 为端点的对角线也有 条，以C为端点也有 条，但AC 为端点也有 是同一条线段， 为端点的两条DA、 与 、 与CA是同一条线段，以D为端点的两条 、DB与AD、 是同一条线段 为端点的两条 BD分别表示同一条线段，所以只有 条，以此类推六 分别表示同一条线段， 分别表示同一条线段 所以只有5条 边形有9条对角线 从以上分析可知从n边形的一个顶 条对角线， 边形有 条对角线，从以上分析可知从 边形的一个顶 点引对角线，可以引(n－ 条 那么n个顶点就有 个顶点就有n(n 点引对角线，可以引 －3)条，那么 个顶点就有 －3)条，但其中每一条都重复计算一次，所以 边形 条 但其中每一条都重复计算一次，所以n边形 n(n－3) － 条对角线. 一共有 条对角线 2
自测题: 自测题
3． 若一个凸多边形的内角和等于它的外角 ． 则它的边数是_______． 和，则它的边数是 4 ． 4． 如果一个多边形的每一个外角都相等 ， ． 如果一个多边形的每一个外角都相等， 并且它的内角和为2880° ， 那么它的内角为 并且它的内角和为 ° 160° ° _______． ． 5． 一个多边形的每个外角都是 ° ， 则这 ． 一个多边形的每个外角都是12° 30 边形 个多边形是________边形． 边形． 个多边形是 6．正n边形的一个内角为 °,那么 为( B ) 边形的一个内角为120° 那么 那么n为 ． 边形的一个内角为 A．5 B．6 C．7 D．8 ． ． ． ．
小 结
2、n边形的内角和与外角和是多少？ 边形的内角和与外角和是多少？
n边形的内角和等于(n － 2)•180° 边形的内角和等于(n 180° 多边形的外角和都等于360° 多边形的外角和都等于 °
1.已知一多边形的每一个内角都相等， 已知一多边形的每一个内角都相等， 已知一多边形的每一个内角都相等 2 它的外角等于内角的 3 ，求这个多边 形的边数； 形的边数； 2.一多边形内角和为 一多边形内角和为2340°，若每一个 ° 一多边形内角和为 内角都相等，求每个外角的度数. 内角都相等，求每个外角的度数
在四边形的四个内角中，最多能有几个 在四边形的四个内角中， 思考题 钝角？最多能有几个锐角？ 钝角？最多能有几个锐角？
解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角. 最多能有三个钝角，最多能有三个锐角 理由是： 理由是： 设四边形的四个内角的度数分别为： α°,β°,γ°,δ°, ° ° ° ° 则α+β+γ+δ=360°， °
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组 成的角叫做这个多边形的外角。
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在每个顶点处取这个多 边形的一个外角， 边形的一个外角，它们的和 外角和。 叫做这个多边形的外角和。 如：四边形ABCD的外角和是 四边形 的外角和是 1+∠2+∠3+∠ ∠1+∠2+∠3+∠4
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如图(1)四边形 如图 四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别 四边形 ， 、 、 、 分别 是四个外角， 的度数. 是四个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4的度数 ∠ ∠ ∠ 的度数