11 时间序列分析

一 时间序列分析

1.1 定义

按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析 1.2

AR(p)模型

具有上述结构的模型称为p 阶自回归模型，记为AR(p) 1.3 MA(q)模型

具有上述结构的模型称为p 阶自回归模型，记为MA(q) 1.4 ARMA(p,q)模型

具有上述结构的模型称为p 阶自回归模型，记为ARMA(p,q) 1.5 平稳序列建模

1建模步骤：

2计算样本相关系数：

样本自相关系数：

1

2

1

()

ˆ(n k

t

t k t k n

t

t x x x

x x x ρ-+==--=-∑∑011222

()0(),()0,0,t t t p t p t p t t t s s t x x x x E Var E s t Ex s t

εφφφφεφεεσεεε---=+++++⎧⎪≠⎪⎨===≠⎪⎪

=∀<⎩，11222

0()0(),()0,t t t t q t q q t t t s x E Var E s t εμεθεθεθεθεεσεε---⎧=+----⎪

≠⎨⎪

===≠⎩，011112

00

()0(),()0,0,t t p t p t t q t q p q t t t s s t x x x E Var E s t Ex s t

εφφφεθεθεφθεεσεεε----=++++---⎧⎪≠≠⎪⎨===≠⎪⎪

=∀<⎩，，

样本偏自相关系数：

3模型识别：

4样本相关系数的近似分布: Barlett: Quenouille:

5参数估计: 待估参数:

个未知参数 常用估计方法

矩估计

极大似然估计 最小二乘估计

6模型的显著性检验: 目的

检验模型的有效性（对信息的提取是否充分） 检验对象

残差序列 判定原则

一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列

反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效 假设条件:

原假设：残差序列为白噪声序列

备择假设：残差序列为非白噪声序列

ˆˆˆk kk D D φ=∞→n n

N k ,)1

,0(~ˆρ∞→n n

N kk ,)1,0(~ˆφ2p q ++0120,1m H m ρρρ====∀≥：10,1k H m k m ρ≠∀≥≤：至少存在某个，

检验统计量：

LB 统计量

7参数显著性检验: 目的

检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著参数使模型结构最精简 假设条件

01:0

:0j j H H ββ=≠

检验统计量

8模型优化: 问题提出

当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。

优化的目的

选择相对最优模型

9序列预测:

线性预测函数

预测方差最小原则

1.6 非平稳序列建模

首先利用差分方法把非平稳序列变成平稳序列，进而建立ARIMA(p,q)模型来求解，下面介绍ARIMA(p,q)模型

模型结构： 使用场合

差分平稳序列拟合 模型结构

建模步骤：

221ˆ(2)()~()

m k k LB n n m n k ρ

χ==+-

∑~()T t n m =-10

t i t i

i x C x ∞

--==∑[][]{}()ˆ()min ()t l x t t Var e l Var e l =2()()()0(),()0,0,d t t

t t t s s t

B x B E Var E s t

Ex s t εεεεσεεε⎧Φ∇=Θ⎪===≠⎨⎪=∀<⎩，

1.7 模型应用举例

在这里我们举上证指数的时间序列预测为例：

1 数据收集与处理

对于上证指数的时间序列{x i, i∈N }, 原始时间序列图见图2. 上证指数——日数据是从2003 年6 月1 日至2005 年5月13 日共320 个数据作为一年的数据来分析。上证指数的月数据是从1995 年1 月到2005 年4 月共112个数据。

图1 原始时间序列图

2 模型识别

采用O rigin 的平滑技术来确定时滞数, 再取所选时滞数差分使时间序列平稳化。经过对取对数后的时间序列平滑可以确定时滞数为(1, 3) , 如图2 所示。然后对时间序列取(1, 3) 两次差分, 结果如图3 所示。对差分的时滞(1, 3) 检验。对需要转换为平稳时间序列的数据, 最终是要差分的方法转换, 通常可直接调用p roc arim a 过程的iden t ify 语句实现对所选差分时滞的检验。目的是

确定所选差分时滞情况下的AR IMA 模型的参数p , q 值。由AR 模型具有拖尾的

自相关系数、截尾的偏相关系数, 则从图5 偏相关系数PACF 图中可选择AR的阶数为3; 由MA 模型具有截尾的自相关系数、拖尾的偏相关系数, 则从图4 自相关系数ACF 图中可选择MA 的阶数为3. 表1 自相关系数的白噪声检验结果表明, 概率都< 0. 0001, 则显然拒绝序列为白噪声的原假设, 因此序列有一个AR IMA 模型。

图2 平滑取对数后的时间序列

图3 消除增幅后和消除季节性的时间序列对比图