8-1多元函数的基本概念51652

（2）区域
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点．如果存在点P 的某一邻域U(P) E ， 则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
如果点集 E 的点都是内点，
则称 E 为开集.
•P
例如，E1 {(x, y)1 x2 y2 4}
即为开集．
E
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点，
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
（6） 二元函数 z f ( x, y)的图形
设函数z f ( x, y)的定义域为D，对于任意 取定的P( x, y) D，对应的函数值为 z f (x, y)， 这样，以 x为横坐标、 y 为纵坐标、z为竖坐标在 空间就确定一点M( x, y, z)，当 x,y 取遍D上一切
说明：
1 n维空间的记号为 Rn;
2 n维空间中两点间距离公式
设两点为 P( x1, x2 ,, xn ), Q( y1, y2 ,, yn ), | PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域. y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ， 即 AP K 对一切 P E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集． 例如，
y
{( x, y) | 1 x2 y2 4}
3 n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（ 5 ）函数的定义（五版）
设D是R2的一个非空子集，称映射f : D R
为定义在D上的二元函数，通常记为
z f (x, y), (x, y) D或z f (P), P D
D, P0 ( x0 , y0 )是其聚点，如果对于任意给定的
正数 ，总存在正数 ，使得对于适合
不等式0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的一切点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称 A
为函数z f ( x, y)当 x x0， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
其中点集D称为该函数的定义域， (x, y)
称为自变量，z称为因变量.
(四版）Biblioteka Baidu元函数的定义
设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D ，变量z 按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称z 是变量x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f ( P ) ）.
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于E ，也
可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．
E 的边界点的全体称为 E 的边界．
•P
设 D 是开集．如果对于D内
任何两点，都可用折线连结起来， E
且该折线上的点都属于D ，则称
开集 D 是连通的．
• •
连通的开集称为区域或开区域．
y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
有界闭区域；
o
x
{( x, y) | x y 0}
无界开区域．
（3）聚点
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个去心邻域内总有 无限多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点. 说明：
a. 内点一定是聚点； b. 边界点可能是聚点；
例 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
o
y
单值分支: z a2 x2 y2
x
z a2 x2 y2.
二 多元函数的极限
• 定义 若动点 ( x, y) 与定点 ( x0 , y0 ) 之间的
距离趋于零，就称动点( x, y) 趋于定点( x0 , y0 )
记作 ( x, y)
( x0 , y0 )
定义 1 设函数z f ( x, y)的定义域为
一、多元函数的概念
（1）邻域
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U (P0 , ) ，
U(P0, ) P | PP0 |
• P0
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
(0,0)既是边界点也是聚点．
c.点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间
设 n为取定的一个自然数，我们称 n元有 序数组( x1 , x2 ,, xn )的全体为n维空间，而 每个n元数组( x1 , x2 ,, xn )称为n维空间中 的一个点，数 xi 称为该点的第i 个坐标.
点时，得一个空间点集
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称为
二元函数的图形. （如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, z sin xy 图形如右图.
例如, x2 y2 z2 a2
z
左图球面.
D {(x, y) x2 y2 a2}.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
与一元函数类似 ,我们约定 : 在一般地讨论用算式表 达式 表达的多元函数 u f (P)时,就以使这个算式有意义 的点 P所组成的点集 D为这个多元函数的自然 定义域.
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2