高三数学复习教案
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第一章 集合与常用逻辑用语
第1-2课时 集合的概念
考情分析
考点新知
了解集合的含义;体会元素与集合的“属于”关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题;了解集合之间包含与相等的含义;能识别给定集合的子集;了解全集与空集的含义.
学会区分集合与元素,集合与集合之间的关系. 学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化. 集合含义中掌握集合的三要素.
④ 不要求证明集合相等关系和包含关系.
1. (必修1P10第5题改编)已知集合A ={m +2,2m2+m},若3∈A ,则m =________. 答案:-3
2
解析:因为3∈A ,所以m +2=3或2m2+m =3.当m +2=3,即m =1时,2m2+m =3,此时集合A 中有重复元素3,所以m =1不合题意,舍去;当2m2+m =3时,解得m =-3
2或m =1(舍去),此时当m =-32时,m +2=12≠3满足题意.所以m =-3
2.
2. (必修1P7第4题改编)已知集合{a|0≤a<4,a ∈N},用列举法可以表示为________. 答案:{}0,1,2,3
解析:因为a ∈N ,且0≤a<4,由此可知实数a 的取值为0,1,2, 3. 3. (必修1P17第6题改编)已知集合A =[1,4),B =(-∞,a),A
B ,则a ∈________.
答案:[4,+∞)
解析:在数轴上画出A 、B 集合,根据图象可知.
4. (原创)设集合A ={x|x =5-4a +a2,a ∈R},B ={y|y =4b2+4b +2,b ∈R},则A 、B 的关系是________. 答案:A =B
解析:化简得A ={x|x≥1},B ={y|y≥1},所以A =B. 5. (必修1P17第8题改编)满足条件{1}M
{1,2,3}的集合M 的个数是________.
答案:4个 解析:满足条件{1}
M
{1,2,3}的集合M 有{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},共4个.
1. 集合的含义及其表示
(1) 集合的定义:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.其中集合中的每一个对象称为该集合的元素.
(2) 集合中元素的特征:确定性、互异性、无序性.
(3) 集合的常用表示方法:列举法、描述法、Venn 图法.
(4) 集合的分类:若按元素的个数分类,可分为有限集、无限集、空集;若按元素的属性分类可分为点集、数集等.应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合,解题时切勿忽视空集的情形.
(5) 常用数集及其记法:自然数集记作N ;正整数集记作N 或N +;整数集记作Z ;有理数集记作Q ;实数集记作R ;复数集记作C . 2. 两类关系
(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系,反映了个体与整体之间的从属关系. (2) 集合与集合之间的关系 ① 包含关系:如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 称为集合B 的子集,记为A
B 或B
A ,读作“集合A 包含于集合B”或“集合
B 包含集合A”.
② 真包含关系:如果A
B ,并且A≠B ,那么集合A 称为集合B 的真子集,读作“集合A 真包
含于集合B”或“集合B 真包含集合A”.
③ 相等关系:如果两个集合所含的元素完全相同,即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素,则称这两个集合相等.
(3) 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个,真子集共有2n -1个,非空子集共有2n -1个,非空真子集有2n -2个.
题型1 正确理解和运用集合概念
例1 已知集合A ={x|ax2-3x +2=0,a ∈R}. (1) 若A 是空集,求a 的取值范围;
(2) 若A 中只有一个元素,求a 的值,并将这个元素写出来; (3) 若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围. 解: (1) 若A 是空集,则Δ=9-8a <0,解得a >9
8.
(2) 若A 中只有一个元素,则Δ=9-8a =0或a =0,解得a =98或a =0;当a =9
8时这个元素是43;当a =0时,这个元素是23.
(3) 由(1)(2)知,当A 中至多有一个元素时,a 的取值范围是a≥9
8或a =0. 备选变式(教师专享)
已知a≤1时,集合[a ,2-a]中有且只有3个整数,则a 的取值范围是________. 答案:-1
解析:因为a≤1,所以2-a≥1,所以1必在集合中.若区间端点均为整数,则a =0,集合中有0,1,2三个整数,所以a =0适合题意;若区间端点不为整数,则区间长度2<2-2a<4,解得-1
设集合M =⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪x =k 2+14,k ∈Z ,N ={x|x =k 4+1
2,k ∈Z},则M________N.
答案:真包含于
题型2 集合元素的互异性
例2 已知a 、b ∈R ,集合A ={a ,a +b ,1},B =⎩
⎨⎧⎭⎬⎫b ,b a ,0,且A B ,B A ,求a -b 的值.
解:∵ A B ,B A ,∴ A =B.
∵ a ≠0,∴ a +b =0,即a =-b ,∴ b
a =-1,
∴ b =1,a =-1,∴ a -b =-2. 备选变式(教师专享)
已知集合A ={a ,a +b, a +2b},B ={a ,ac, ac2}.若A =B ,则c =________. 答案:-1
2
解析:分两种情况进行讨论.
① 若a +b =ac 且a +2b =ac2,消去b 得a +ac2-2ac =0.
当a =0时,集合B 中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故a≠0.∴ c2-2c +1=0,即c =1.但c =1时,B 中的三元素又相同,此时无解.
② 若a +b =ac2且a +2b =ac ,消去b 得2ac2-ac -a =0. ∵ a ≠0,∴ 2c2-c -1=0,即(c -1)(2c +1)=0. 又c≠1,故c =-1
2. 变式训练
集合A =⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a ,b a ,1,集合B ={a2,a +b ,0},若A =B ,求a2 013+b2 014的值. 解:由于a≠0,由b
a =0,得
b =0,则A ={a ,0,1},B ={a2,a ,0}. 由A =B ,可得a2=1.又a2≠a ,则a≠1,则a =-1. 所以a2 013+b2 014=-1.
题型3 根据集合的含义求参数范围
例3 集合A ={x|-2≤x≤5},集合B ={x|m +1≤x≤2m -1}. (1) 若B
A ,求实数m 的取值范围;
(2) 当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围. 解:(1) 当m +1>2m -1即m <2时,B =
满足B
A ;