组合数学练习题

组合数学练习题

1. 将n 本书放在5个书架上，每个书架至少能够放n 本书. 问：

(1) 将这n 本书放到这些书架上有多少种不同的方法？

(2) 如果只考虑书架上书的数量，而不考虑哪本书放在什么地方，有多少种不同的方法？(基础)

2.把n 个相异的球放到4个相异盒子1234,,,A A A A 中，求使得1A 含有奇数个

球，2A 含有偶数个球的不同的放球方法数.(母函数)

3.将充分多的苹果、香蕉、橘子和梨这4种水果装袋，要求各袋有偶数个苹果，最多2个橘子，3的倍数个香蕉，最多1个梨.如果每袋装n 个水果，求装袋的种类数.(母函数)

4. 有多少个长度为n 的0与1串，在这些串中，既不包含子串010，也不包含子串101？(递推关系)

5. 一个计算机系统把一个十进制数字串作为一个编码字，如果它包含偶数个0，就是有效的. 求有效的n 位编码字的个数n a .(递推关系)

6.某人在距家以北n 个街区，以东n 个街区处工作，每天他走2n 个街区去上班.如果他从不穿越（但可以碰到）从家到工作地的对角线，那么他有多少条可能的道路？(基础，典型数列)

7. 把 (4)n n 件彼此相异的物品分给甲、乙、丙三人，使得甲至少分得两件物品，乙和丙至少分得一件物品，有多少种不同的分法？(典型数列)

8. n 个单位各派2名代表出席一个会议，2n 名代表围一圆桌坐下.试问：

(1) 各单位代表入座的方案有多少种?

(2) 各单位的2位代表不相邻的方案有多少种? (容斥原理)

9.一部由1楼上升到10楼的电梯内共有n 位乘客，他们分别到5至10楼去，该电梯从5楼开始每层楼都停，以便让乘客决定是否离开电梯。

(1) 求n 位乘客离开电梯的不同方法的种数。

(2) 求每层楼都有人离开电梯的不同方法的种数。(容斥原理)

10.用四种颜色(红、蓝、绿、黄)涂染四台仪器A ，B ，C 和D 。规定每台仪器只能用一种颜色并且任意两台仪器颜色都不能相同。如果B 不允许用蓝色和红色，C 不允许用蓝色和绿色，D 不允许用绿色和黄色，问有多少种染色方案？

(容斥原理，棋盘多项式)

11. 某个宴会共有2n个人出席，每个人均至少认识其中的n个人. 证明：可安排这2n个人中的某4个人围圆桌而坐，使得每个人的旁边都是他所认识的人.(抽屉原理)

12. 边长为1的正三角形内任选21

n 个点，必有两点的距离小于等于1

n

.(抽

屉原理)

13. 用红、黄、蓝三种颜色对正六边形的顶点进行着色，共有多少种不同的方案？其中正六边形可以绕几何中心旋转或沿其对称轴翻转。(Polya定理)

14.将一个3行3列棋盘的9个正方形着红色和蓝色，棋盘可以绕对称中心旋转，但不能绕对称轴翻转，求不等价的着色方案数.(Polya定理)