【解直角三角形】专题复习

【解直角三角形】专题复习

考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余

∠C=90°⇒∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30°， ∠C=90° ⇒BC=

2

1AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°，D 为AB 的中点⇒CD=

2

1

AB=BD=AD 4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理（可利用相似证明）：在直角三角形中，

斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90°CD ⊥AB ⇒ BD AD CD ∙=2 AB AD AC ∙=2 AB BD BC ∙=2 6、常用关系式：由三角形面积公式可得： AB ∙CD=AC ∙BC

考点二、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念

1、如图，在△ABC 中，∠C=90°

①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即

c a

sin =∠=

斜边的对边A A

②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即

c b

cos =∠=

斜边的邻边A A

③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即

b

a

tan =∠∠=

的邻边的对边A A A

④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a

b

cot =∠∠=的对边的邻边A A A

2、锐角三角函数的概念：锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数

3、一些特殊角的三角函数值

三角函数 0° 30°

45°

60°

90° sinα

2

1

22

23 1

cos α 1

23 2

2

2

1 0

tan α 0

3

3 1

3

不存在

cot α 不存在

3

1 3

3 0

4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ，tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=

A

A

cos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，

（1）正弦（或正切）值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦（或余切）值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据

在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：

b

a B a

b B

c a B c b B a b A b a A c b A c a A ========

cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin

3、基本类型

（1）独立可解型

条件：三角形为Rt △ 、并且已知一锐角和一边或已知两边

（2）构造组合型

专题1：锐角三角函数的定义

例1 如图28－123所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )

A ．sin A ＝3

2

B ．tan A ＝12

C ．cos B ＝3

2

D ．tan B ＝3

变练：在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝3

5

,则tan A 等于 ( )

A ．3

5

B ．45

C ．34

D ．43

专题2 特殊角的三角函数值

例 计算|－3|＋2cos 45°－(3－1)0．

分析 cos 45°＝22． 解：原式＝3＋2×2

2－1＝2＋2．

变练：1、 计算－12⎛⎫

- ⎪⎝⎭

＋9＋(－1)2007－cos 60°．

2、 计算|－2|＋(cos 60°－tan 30°)0＋8．

3、计算3

12-⎛⎫

⎪⎝⎭－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－132

-.

专题3 锐角三角函数与相关知识的综合运用

例 如图28－124所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 为AC 边的中点，

BC ＝14，AD ＝12，sin B ＝4

5

．

(1)求线段DC 的长； (2)求tan ∠EDC 的值.

分析 在Rt △ABD 中，由sin B ＝AD

AB

，可求得BD ，从而求得CD ．由直角三角

形斜边上的中线等于斜边的一半，得DE ＝1

2

AC ＝EC ，则∠EDC ＝∠C ，所以求tan ∠EDC 可以转化为

求tan C .

变练：

1、 如图28－125所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan B ＝cos ∠DAC . (1)求证AC ＝BD ；

(2)若sin C ＝12

13

，BC ＝12，求AD 的长．

2、 如图28－126所示，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，BC ＝30＋303，求AB 的长．