理论力(第七版)上册.哈工大讲义课件6
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如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一 点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法 向加速度。
y
M
φ o1
o
c
x
19
y 解：M点作曲线运动，
M
取直角坐标系如图所示。
φ o1
o 由纯滚动条件
c
x
OCM Crrt
从 x O 而 O 1 M s C i r n t st in
y O 1 C O 1 M co r 1 s ct o s
4.位移—— ds
5.速度——
ds v=
s
v=ds/dt=s.
dt （代数量）
6.加速度—— a = n an+ a
a
dv dt
s （切向加速度）
an
v2
（法向加速度）
副法线
b 切线 n 主法线 （单位矢量）
13
a=a2+an2
a
tan =|a| /an
an
（四）几种特殊情况
a（全加速度）
精品jing
理论力(第七版)上册.哈工大课件6
第五章 点的运动
1.矢量法 2.直角坐标法 3.自然坐标法
2
一.矢量法
1.运动方程 设动点M在空间作曲线 运动,任选某固定点
M
A
r
o
r
M'
r' B
O为参考点,则动点M在某瞬时t的位置,可由定点O
向动点M所引的矢径r表示.显然矢径r是个变矢量,
并可表示为t的单值连续矢函数.即动点以矢径表示
A'
B'
A
11
（采用直角坐标法）
取A'为原点,建立 x坐标轴.
x
B
D
u
20m
A'
B' A
x 40ut2202
vx 40utu 40ut220 2
当t = 5s 时
v = - 5 ()
12
三.自然坐标法（轨迹已知）
1.弧坐标：s(代数量） 2.自然坐标系：b=n
3.运动方程—— s = f(t)
的运动方程. r = r(t) （矢径端点曲线为轨迹）
2.位移——r=r ' - r
(dr 沿切线)
3
3.速度
M
v
r At
r M'
r'
o
t +△t
B
平均速度： 速度：
v*
r t
vl it m v 0*d dr tr.
速度方向：沿切线，指向运动一方.
4
4.加速度：
v′
M′ ( t+△t)
v
v
v′
20
v x x r 1 c o st ,v y y rs i n t
v v x 2 v y 2 r2 ( 1 co t ) 2 r s s2 i t（ n 0 t 2 )
a x x r2 s i n t,a y y r2 c o st
9
例题:从水面上方高20m的岸上一点D,用长 40m 的绳索系住一船B. 今在D 处以匀速u = 3m/s将绳抽拉,使船靠岸.求在t = 5s时,船的 速度的大小.
D
u
20m
B
A
10
解: t秒后船在B '点
D
u
20m
DB = 40 m DA' = 20 m DB' = 40 - ut
r
r'
B r
v=ds/dt=2R
a=dv/dt=0 an=v2 / R=4R2 =a
16
(2)直角坐标法
取坐标系如图.
y
A
M
O 2
cR
x
x = Rcos2t y = Rsin2t
vx= -2Rsin2t vy= 2Rcos2t v=2R ax= - 4R2cos2t ay= -4R2sin2t
a= 4R2
17
（1）匀变速曲线运动：a=dv/dt=常数
积分得：
ห้องสมุดไป่ตู้
v=v0+at s=s0+v0t+(1/2)at2 v2 v02=2a (s-s0)
（2）匀速曲线运动：v=常数 ; a=0 an=v2/=a
积分得：s=s0+vt
（3）直线运动：= an=0 a=a=dv/dt (若作匀变速直线运动则将匀变速曲线运动
3.速度—— v = xi + yj +
. Vx=dx/dt =x;
Vy=dy/dt=y.;
z Vkz==dzi/vdxt=+z. j vy + k vz
V= Vx2+Vy2+Vz2
8
cos ( v, i )=vx /v
cos ( v, j )=vy /v
cos ( v, k )=vz /v
4.加速度—— a = xi + y j + zk
a dv
M(t)
△v
v=v' - v
平均加速度：
a*
a*
v t
加速度：
a
*dv•
••
lim a v r t 0
dt
5
v′
M′ ( t+△t)
v
v′
M(t)
△v
a*
a dv
注意：加速度是矢量，表示速度在瞬时 t 变化情况 ， 恒指曲线轨迹的凹侧。沿速矢端迹的切线．
6
dv
a
m´
a*
m v
v
v'
v ''
例5-5 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，
y=2cos 4t m，z=4t m。求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：由点M的运动方程，得
v x x 8 c4 t o ,a x s x 3 s4 2 t in
v y y 8 s4 i t,n a y y 3 c2 4 t os
vzz4,az z0
从 而 v v x 2 v y 2 v z 2 8 0 m s ,a a x 2 a y 2 a z 2 3 2 m s 2
而 at d dv t0,ana32ms2
故 v2 2.5m
an
18
例5-6 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动
（称为纯滚动），设轮子转角 t( 为常值），
..
ax=dVx/dt=x
=
iaay=x d+Vjya/dyt+=y.k.
azaz=dVz/dt=z..
a=ax2 +ay2 +az2
（ 由运动方程求速度、加速度
cos ( a, i )=ax /a
cos ( a, j )=ay /a 用微分法；由加速度求速度
cos ( a, k )=az /a
和运动方程用积分法。）
公式中的a变为a即可）
14
例题. 在半径R为10cm的铁圈上套一小环M, 有杆OA穿过环M并绕铁圈上一点O转动,其 =t(为常数). 求小环速度 v和加速度 a的 大小.
A M
O
R
15
解:(1)自然坐标法：M环轨迹已知.
过O点作水平线与园环交 O
于D并取为自然坐标的原点.
A M
2
D R
s = 2R=2Rt
m' ´
O´
速矢端迹------若自空间任一点画出动点 M 在各不同瞬时的速度矢量
，速度矢量末端所连成的曲线 。
7
二.直角坐标法 x = f1 (t)
1.运动方程: y = f2 (t) z = f3 (t)
r=x i+y j +z k
z
M
r
o
x
y
2.位移—— dr = idx + jdy + kdz
y
M
φ o1
o
c
x
19
y 解：M点作曲线运动，
M
取直角坐标系如图所示。
φ o1
o 由纯滚动条件
c
x
OCM Crrt
从 x O 而 O 1 M s C i r n t st in
y O 1 C O 1 M co r 1 s ct o s
4.位移—— ds
5.速度——
ds v=
s
v=ds/dt=s.
dt （代数量）
6.加速度—— a = n an+ a
a
dv dt
s （切向加速度）
an
v2
（法向加速度）
副法线
b 切线 n 主法线 （单位矢量）
13
a=a2+an2
a
tan =|a| /an
an
（四）几种特殊情况
a（全加速度）
精品jing
理论力(第七版)上册.哈工大课件6
第五章 点的运动
1.矢量法 2.直角坐标法 3.自然坐标法
2
一.矢量法
1.运动方程 设动点M在空间作曲线 运动,任选某固定点
M
A
r
o
r
M'
r' B
O为参考点,则动点M在某瞬时t的位置,可由定点O
向动点M所引的矢径r表示.显然矢径r是个变矢量,
并可表示为t的单值连续矢函数.即动点以矢径表示
A'
B'
A
11
（采用直角坐标法）
取A'为原点,建立 x坐标轴.
x
B
D
u
20m
A'
B' A
x 40ut2202
vx 40utu 40ut220 2
当t = 5s 时
v = - 5 ()
12
三.自然坐标法（轨迹已知）
1.弧坐标：s(代数量） 2.自然坐标系：b=n
3.运动方程—— s = f(t)
的运动方程. r = r(t) （矢径端点曲线为轨迹）
2.位移——r=r ' - r
(dr 沿切线)
3
3.速度
M
v
r At
r M'
r'
o
t +△t
B
平均速度： 速度：
v*
r t
vl it m v 0*d dr tr.
速度方向：沿切线，指向运动一方.
4
4.加速度：
v′
M′ ( t+△t)
v
v
v′
20
v x x r 1 c o st ,v y y rs i n t
v v x 2 v y 2 r2 ( 1 co t ) 2 r s s2 i t（ n 0 t 2 )
a x x r2 s i n t,a y y r2 c o st
9
例题:从水面上方高20m的岸上一点D,用长 40m 的绳索系住一船B. 今在D 处以匀速u = 3m/s将绳抽拉,使船靠岸.求在t = 5s时,船的 速度的大小.
D
u
20m
B
A
10
解: t秒后船在B '点
D
u
20m
DB = 40 m DA' = 20 m DB' = 40 - ut
r
r'
B r
v=ds/dt=2R
a=dv/dt=0 an=v2 / R=4R2 =a
16
(2)直角坐标法
取坐标系如图.
y
A
M
O 2
cR
x
x = Rcos2t y = Rsin2t
vx= -2Rsin2t vy= 2Rcos2t v=2R ax= - 4R2cos2t ay= -4R2sin2t
a= 4R2
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（1）匀变速曲线运动：a=dv/dt=常数
积分得：
ห้องสมุดไป่ตู้
v=v0+at s=s0+v0t+(1/2)at2 v2 v02=2a (s-s0)
（2）匀速曲线运动：v=常数 ; a=0 an=v2/=a
积分得：s=s0+vt
（3）直线运动：= an=0 a=a=dv/dt (若作匀变速直线运动则将匀变速曲线运动
3.速度—— v = xi + yj +
. Vx=dx/dt =x;
Vy=dy/dt=y.;
z Vkz==dzi/vdxt=+z. j vy + k vz
V= Vx2+Vy2+Vz2
8
cos ( v, i )=vx /v
cos ( v, j )=vy /v
cos ( v, k )=vz /v
4.加速度—— a = xi + y j + zk
a dv
M(t)
△v
v=v' - v
平均加速度：
a*
a*
v t
加速度：
a
*dv•
••
lim a v r t 0
dt
5
v′
M′ ( t+△t)
v
v′
M(t)
△v
a*
a dv
注意：加速度是矢量，表示速度在瞬时 t 变化情况 ， 恒指曲线轨迹的凹侧。沿速矢端迹的切线．
6
dv
a
m´
a*
m v
v
v'
v ''
例5-5 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，
y=2cos 4t m，z=4t m。求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：由点M的运动方程，得
v x x 8 c4 t o ,a x s x 3 s4 2 t in
v y y 8 s4 i t,n a y y 3 c2 4 t os
vzz4,az z0
从 而 v v x 2 v y 2 v z 2 8 0 m s ,a a x 2 a y 2 a z 2 3 2 m s 2
而 at d dv t0,ana32ms2
故 v2 2.5m
an
18
例5-6 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动
（称为纯滚动），设轮子转角 t( 为常值），
..
ax=dVx/dt=x
=
iaay=x d+Vjya/dyt+=y.k.
azaz=dVz/dt=z..
a=ax2 +ay2 +az2
（ 由运动方程求速度、加速度
cos ( a, i )=ax /a
cos ( a, j )=ay /a 用微分法；由加速度求速度
cos ( a, k )=az /a
和运动方程用积分法。）
公式中的a变为a即可）
14
例题. 在半径R为10cm的铁圈上套一小环M, 有杆OA穿过环M并绕铁圈上一点O转动,其 =t(为常数). 求小环速度 v和加速度 a的 大小.
A M
O
R
15
解:(1)自然坐标法：M环轨迹已知.
过O点作水平线与园环交 O
于D并取为自然坐标的原点.
A M
2
D R
s = 2R=2Rt
m' ´
O´
速矢端迹------若自空间任一点画出动点 M 在各不同瞬时的速度矢量
，速度矢量末端所连成的曲线 。
7
二.直角坐标法 x = f1 (t)
1.运动方程: y = f2 (t) z = f3 (t)
r=x i+y j +z k
z
M
r
o
x
y
2.位移—— dr = idx + jdy + kdz