高中数学竞赛 染色问题与染色方法

第二专题染色问题与染色方法

一、区域染色

3⨯的棋盘，用黑色或白色两种颜色去染棋盘上的方例1、有一个7

格，每个方格只染一种颜色。证明：无论怎样染色，棋盘上必定包含一个矩形（它由铅垂直线或水平线所划出的小正方形构成），它的四角所在的方块都是同一颜色。

2000⨯方格表中都染上红色或蓝色两种颜色之一，使得例2、2000

每种颜色都恰好出现2000000格内，两个红格若同行便称为一副红对，两个蓝格若同行便称为一副蓝对。求证：所有红对数目和蓝对数目相等。

例3、在一个正六边形的六个区域中的每一个

二、点染色

例4、已知：将平面上的所有点染成红、蓝两色之一。求证：存在一个

30。

同色顶点的直角三角形，其斜边为2003，且有一个锐角为

例5、将平面上的所有点染成红、蓝两色之一。求证：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为2003，并且每一个三角形的三个顶点同色。

例6、用红、蓝两种颜色去染正九边形的顶点，每个顶点只染一种颜色，证明：在以这9个点为顶点的所有三角形中，一定有两个全等的三角形，每一个的三个顶点都是同颜色。

三、线段染色

例7、证明：在任何六个人中，总可以找到三个相互认识的人或三个互相不认识的人。（认识是相互的）。

例8、6个点，每两个点之间有一条线相连，线染上红色或蓝色，证明一定有两个以这些点为顶点的三角形，每个三角形的边是同一种颜色（可能有公共边）。

例9、平面上有5个点，无三点共线，两两相连的线段各染上红蓝颜色中的任意一种，求证：图中没有同色三角形的充要条件是可分解为一红一蓝的两条封闭折线，每条恰含有5条连线段。

例10、17名科学家中每一名和其余科学家通信，在他们的通信中仅讨论三个题目，而任两名科学家之间仅讨论一个题目。证明：其中至少有3名科学家，他们互相通信中讨论同一个题目。

例11、某俱乐部有13 n 名成员，对每一个人，其余的人中恰好有n 个愿与他打网球，n 个愿与他下象棋，n 个愿与他打乒乓。证明：俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏三种俱全。

例12、求最小正整数n ，使在任何n 个无理数中，总有3个数，其中每两数之和仍为无理数。

例13、 给定空间中的9个点，其中任何4点都不共面.在每一对点之间都连有一条线段，这些线段可染为红色或蓝色，也可不染色.试求出最小的n 值，使得将其中任意n 条线段中的每一条任意地染为红蓝二色之一，在这n 条线段的集合中都必然包含有一个各边同色的三角形.