应力状态

F
F
1
TSINGHUA UNIVERSITY
F
A
1
S平面
n
F
1
F
TSINGHUA UNIVERSITY
1
90
§7-2 二向和三向应力状态实例
一、承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
圆柱型薄壁容器任意点的应力状态 （壁厚为t，内直径为D，t<<D，内压为p）
面内最大剪应力
TSINGHUA UNIVERSITY
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因 而剪应力亦可能存在极值。
x
y
2
sin2
xycos2
对α求一次导数，并令其等于零；
d d
( x y )cos2 2 xysin2
0
由此得出另一特征角，用α1表示
tan
21＝
x
2τ xy
y
TSINGHUA UNIVERSITY
My
Iz
Fs
S
* z
bI z
平面应力状态
6 提取工字形截面梁上一点的应力状态
FP S平面
TSINGHUA UNIVERSITY
l/2
l/2
3 3
2 2
2 2
TSINGHUA UNIVERSITY
5
FQ
FP 2
S平面
5
4
4
3
3
Mz
FPl 4
2
2
1
1
x1
1
2
x2
3
4
x2
x1
5
8 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式. S平面
正应力的极值就是主应力；
主应力是所有方向面上的正应力的极值。
TSINGHUA UNIVERSITY
对于平面应力状态， 平行于xy坐标面的平 面，其上既没有正应 力，也没有切应力作 用，这种平面也是主 平面。
σ
σ 0 σ
这一主平面上的主应力等于零。
平面应力状态的三个主应力
tan
2
＝
0
－
2τ xy
在平行于主应力σ1方向的任意方向面Ⅰ上，正应力和剪应 力都与σ1无关。因此，当研究平行于σ1的这一组方向面上的 应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：
x
y
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
TSINGHUA UNIVERSITY
max
min
x y
2
(x
y
2
)2
2 xy
''' 0
将三个主应力代数值由大到小顺序排列;
1 2 3
根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效； 确定失效的形式；
因此，可以说主应力是反映应力状态本质的特征量。
2
x
TSINGHUA UNIVERSITY
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
yx
y
xy
TSINGHUA UNIVERSITY
x y
即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数。
x
yx
y
xy
即又一次证明了切应力的互等定理。
1、分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说 明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以将
平面应力状态视为有三个主应力（σ1、σ2、σ3）作用的
应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于零。
考察微元三对面上分别作用着三个主应力
（σ1>σ2>σ3 0）的应力状态。
过一点所有方向面中的最大切应力
TSINGHUA UNIVERSITY
纯剪应力状态
一点的应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
三
平
向
面
应
应
力
力
状 特例 状
态
态
单向应力状态
特例
纯剪应力状态
常用术语 主单元体 主平面
x1
x1
TSINGHUA UNIVERSITY
主应力 单元体的某个面上切应力等于零时的正应力;
约定：
1 2 3
TSINGHUA UNIVERSITY
应力状态
空间（三向）应力状态： 三个主应力均不为零； 平面（二向）应力状态： 两个主应力不为零； 单向应力状态：一个主应力不为零;
3 2
1
1 提取拉压变形杆件一点的应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
x
F A
单向应力状态
2 提取拉压变形杆件一点的应力状态-斜截面上
TSINGHUA UNIVERSITY
两种材料的拉伸试验
铸铁拉伸
低碳钢拉伸
TSINGHUA UNIVERSITY
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
两种材料的扭转试验
低碳钢扭转
铸铁扭转
TSINGHUA UNIVERSITY
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
TSINGHUA UNIVERSITY
为什么要研究应力状态 试件的破坏不只在横截面，
4、主应力、主平面 ，最大切应力 主平面、主应力与主方向 平面应力状态的三个主应力 面内最大切应力 过一点所有方向面中的最大切应力
主平面、主应力与主方向
TSINGHUA UNIVERSITY
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
x
y
2
sin2
xycos2
切应力α=0的方向面为主平面。
x
y
2
sin2
xycos2
杆件承受轴向拉伸时，
y'
其上任意一点均为单向应力
状态。
TSINGHUA UNIVERSITY
x' 平面应力状态任意斜截面上 的正应力和切应力公式
x
x
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
x
y
2
sin2
xycos2
y'
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
x'
α
x
y
2
sin2
xycos2
x
x
y＝0，yx＝0。
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
§7-1 应力状态的基本概念 一、什么是应力状态？ 二、为什么要研究应力状态? 三、如何描述一点的应力状态?
TSINGHUA UNIVERSITY
一、什么是应力状态？
应力的点的概念: ——同一截面上不同点的应力 各不相同;
TSINGHUA UNIVERSITY
z
x x
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
TSINGHUA UNIVERSITY
一般平面（二向）应力状态
σy
τyx
τ xy
x
σx
yx xy
y
TSINGHUA UNIVERSITY
一般单向应力状态或纯剪切应力状态
y
x
x
y
yx
xy
x
单向应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
用主单元体表示一点的应力状态
同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。 用主应力表达的形式最简单也是最本质的。
y
yx
y
xy
x
x
y'
y'x'
y'
x' y'
x'
x'
yP
yp
xP
xp
x-y坐标系
x´-y´坐标系
主单元体
tan
21＝
x
2τ xy
y
得到α 的极值
x
y
2
sin2
xycos2
max
min
(x
y
2
)2
2 xy
特别指出:
上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言， 因而称为面内最大剪应力与面内最小剪应力。
二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的最大和最小值。
TSINGHUA UNIVERSITY
y
pD 2t
x y
TSINGHUA UNIVERSITY
承受内压圆柱型薄壁容 器任意点的应力状态:
y x
二向不等值拉伸应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
3、三向应力状态实例 滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态
σZ
σx σy
火车车轮与钢轨的接触点处于几向应力状态？
TSINGHUA UNIVERSITY
x'
平面应力状态任意斜截面上的
正应力和切应力公式
xy
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
x
y
2
sin2
xycos2
TSINGHUA UNIVERSITY
y'
yx
x'
x＝y＝0
α
xysin2
xy
xycos2
当α＝45º或α ＝－45º时，斜截面上只有正应力没有切应力。
α ＝45º时(自x轴逆时针方向转过45º)，拉应力最大； α ＝－45º时(自x轴顺时针方向转过45º)，压应力最大;
Biblioteka Baidu
TSINGHUA UNIVERSITY
截取微元体
y
x
yx xy
x
y
xy
x
x´
yx y
TSINGHUA UNIVERSITY
微元体平衡
平衡对象
xy
——用α 斜截面截取的微元局部 x
参加平衡的量
——力 应力乘以其作用的面积；
yx
平衡方程
x´
y
Fx' 0
Fy' 0
平衡方程
Fx 0
有时也沿斜截面发生破坏；
不仅要研究横截面上的应力， 而且也要研究斜截面上的应力。
三、如何描述一点的应力状态
微元
微元及其各面上的应力来描 述一点的应力状态。
TSINGHUA UNIVERSITY
dz
dy
dx
约定:
微元体的体积为无穷小； 相对面上的应力等值、反向、共线;
三个相互垂直面上的应力；
一般三向（空间）应力状态
cos2
2
sin 2
3 提取扭转变形杆件一点的应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
T
IP
T
Wt
纯剪切应力状态
4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
M
Wz
单向应力状态
5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
xcos2
x
2
sin2
TSINGHUA UNIVERSITY
y'
xcos2
x
2
sin2
x'
当α＝45º时，斜截面上既有正
α
应力又有剪应力，其值分别为
x
x
45
x
2
45
x
2
在所有的方向面中，45º斜截面上的正应力不是最大值， 而切应力却是最大值。
表明：
轴向拉伸时最大切应力发生在与轴线夹45º角的斜面上；
这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。
因此，可以认为屈服是由最大切应力引起的。
2、分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁 圆试样扭转破坏的主要原因。
TSINGHUA UNIVERSITY
y'
圆轴扭转时，其上任意一点的
yx
应力状态为纯剪应力状态。
y (dAsin) cos 0
ｙ
x
xy dA
yx
y
3 平面应力状态中任意方向面上的正应力与切应力
平面应力状态中任意方向面上正应力与切应力的表达式：
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
TSINGHUA UNIVERSITY
x
y
2
sin2
xycos2
用 p 斜截面截取，此截面上的应力为
TSINGHUA UNIVERSITY
L
ｐ
轴线方向的应力
TSINGHUA UNIVERSITY
x
x
pD
t
ｐ
Ｄ
x
ｐπD２ ４
Fx 0
xpDt
p pD2
4
x
pD 4t
TSINGHUA UNIVERSITY
横向应力 ｐ×Ｄ×ｌ
ｐ
y
y
2t l y
Fy 0
y 2t l p D l 0
45
t max
xy
45O 0
45
c max
xy
-45O 0
进行铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力 作用面（即－45º螺旋面）断开的。
因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。
纯剪切应力状态的主应力及主平面方位
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
dA
x
(dAcos) cos
xy(dAcos) sin
yx (dAsin) cos y (dAsin) sin 0
x
x´
xy dA
yx
y
平衡方程
Fy 0
TSINGHUA UNIVERSITY
dA x (dAcos) sin
xy (dAcos) cos yx (dAsin) sin
§7-3 平面应力状态分析-——解析法 本节主要任务
1、方向角与应力分量的正负号约定;
2、微元的局部平衡;
3、平面应力状态中任意方向面上的正应力 与切应力;
4、主应力、主平面，最大切应力;
1、方向角与应力分量的正负号约定
正应力符号约定
x
x
TSINGHUA UNIVERSITY
x
拉为正
x
压为负
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
应力的点的概念与面的概念
应力
哪一个面上？ 哪一点？
指明
哪一点？ 哪个方向面？
应力状态:
——过同一点不同方向面上应力的集合，称 为这一点的应力状态；
TSINGHUA UNIVERSITY
二、为什么要研究应力状态？
请看下列实验现象：
低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验
切应力符号约定
使微元或其局部顺时针方向转 动为正；反之为负。
方向角的符号约定
由 x正向逆时针转到截面外法 线x‘正向为正；
反之为负。
x' y'
xy
yx y' y
x'
x
TSINGHUA UNIVERSITY
2 微元的局部平衡
y
yx
x
xy
x
y
截取微元体
TSINGHUA UNIVERSITY
0
tan
2
＝
0
－
2τ xy
x
y
0 0 90 O
TSINGHUA UNIVERSITY
求正应力的极值面
x
y
2
x
y
2
cos2
xysin2
上式对α 求一次导数，并令其等于零；
d d
( x y )sin2 2 xycos2
0
解出的角度
tan2＝－ 2τxy x y
角度α与α 0 完全重合。
表明∶ 正应力的极值面与主平面重合；