§4.02拉普拉斯变换的定义、收敛域

eα st


1
0
αs αs
3.单位冲激信号
0
σ α
L
t



0

t

estd
t

1
全s域平面收敛
L t t0



0
t t0
estd t est0
X
第
4．tnu(t)
11 页
L tn tn estd t 0
所以
Fω

f
t
ejω td t
0
采用0系统, 相应的单边拉氏变换为
F s
L f
t

0
f
t es td t

f t L1 f t
1
σ j
F
s
estd s

2π j σ j
X
两种变换对比
第 6
X
第
2．拉氏逆变换
4
页
F j f te j t dt F s f tes t dt


对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td 2π 两边同乘以e t
F1
F
f (t) e t

f (t ) e t ej td t

f (t) e( j )td t F ( j )
令 : j s , 具有频率的量纲, 称为复频率。
则
F s f tes t dt
5.et2 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标， 为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
X
三．一些常用函数的拉氏变换
第 10
页
1.阶跃函数
L u(t)

1
estd
t

1 est 1
0
s 0 s
2.指数函数
L eα t eα testd t
X
第 12 页
放映结束 感谢各位批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
X
第 13 页
知识回顾 Knowledge
Review
X
L t 2 2 Lt 2 1 2
s
s s2 s3
n3
n1
Lt t estd t 0
L t 3 3 L t 2 3 2 6 s s s 3 s4
1 t de st s 0
所以
L tn

n! sn1
>0,收敛域为S右半平面
收敛域为S平面>3的区域， 可表示为Re(s)>3的区域
X
第
说明
9
页
1.满 足 lim t
f
(t) e
t

0σ
σ0 的信号成为指数阶信号；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3. lim tne t 0 0 t
4. lime te t 0 α t
页
变量 信号
时域 t f(t)
傅里叶变换
频域
F()
实数
复函 数
变量 信号
时域 t f(t)
拉普拉斯变换
复频域 s
F(s)
复数 复变函数
X
二．拉氏变换的收敛
第 7
页
Laplace变换即是对信号 f (t) eσ t 取Fourier变换,它的存 在条件是 f (t) eσ t 绝对可积:
f (t) eσ t dt
X
第
3．拉氏变换对
5 页
F s

L
f
t



f
t es
td
t


f
t


L1
f
t


1
σ j
F
s
estd s

2π j σ j
正变换 逆变换
记作: f t Fs f t称为原函数，F s称为象函数。
考虑到实际信号都是有起因信号：

1 s
t
est
0

0
e

std
t


tn s
est


0
n s
t n1 estd t
0

1 s

1 s
est
0
源自文库
1 s2
n t n1 estd t s0
所以 L tn n L tn1 s
n2
对于单边信号f(t),若存在一个0,使



0时,
有
lim
t
f (t )e t
0,
则 f (t) e σ在t > 0的全部范围内满足绝对可积,Laplace变换存在.
收敛轴
jω 收敛区
收敛域：使F(s)存在的s的区 域称为 收敛域。记为：
收敛坐标 σ0 O
ROC(region of convergence) σ (实际上就是拉氏变换存在的
条件)
X
例题
第 8
页
计算下列信号Laplace变换的收敛域:
1、u(t) u(t )
收敛域为全S平面
2、 u(t)
>0,收敛域为S右半平面
3、sin(0 t)u(t)
>0,收敛域为S右半平面
4、 t的 正 次 幂 信 号: tu(t ), t n u(t )
5、 指 数 信 号e 3t u(t )
f t 1 F j e j t d 2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 : 对s : j

j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
2π j j
§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
中国计量学院电子科学与技术专业 2005.8
第
主要内容
2 页
从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换
X
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
第 3
页
1．拉普拉斯正变换
信号 f (t), 乘以衰减因子e t (为任意实数)后容易满足
绝对可积条件, 依傅氏变换定义: