姚天任信号处理基础第二章答案.doc

2. 3设信号s(z?)的自相关序列为：氏(/〃) = 0.8也m = O,±l,…观测信号为：x(n) = s(n) + v(n),试中心)是方差为0.45的零均值白噪声,它与s(〃)统计独立。设计一个长为N二3的777?滤波器来处理%(/?)，使得其输出与的差的均方值最

解:%(/?) = [x(n) x(n -1) x(〃 - h = [h(0) h(1)

R = E\x(n)x (〃)] = E <

s(〃)+ v(〃)

S(/7 - 1) +心一

1)

(〃一

[s(〃)+ v(n) s(n-1) + v(n 一1) s(〃一2) + 一

2)"

割)&⑴6(2)

、(20 0

、

氏⑴&(0) R⑴+0 0 E⑵此⑴VC <°0

,L —1

s(〃)+心)、L s(n)s(n)■氏

(0) ■

< S(〃一l) + (〃一s(〃

)

>

=E<

s(n-\)s(n)、二K(T)

s(n -2) + v(n -2)

s(〃一

2)s(〃)

_K(-2).

P = E[X(/?)A'(H)]

W) = 0.8""=>

&(0) = 1, R(l) = K(—1) = 0.8, R(2) = R s(-2) =

0.64

一1.45 0.8 -1 1 ■-0.5358-

h

O

pt = R"*P =0.8 1.45 0.8 .0.8 0.2057 0.64 0.8 1.45 0.64 0.0914

2. 5已知一阶马尔可夫过程的信号模型为s(〃) = 0.6s(〃-l) +w(〃),式中，以＞?)是方差为0.82的零均值白噪声。对s(〃)进行观测,得到x(n) = s(n) + v(n),式中,心)是方差为1

的零均值白噪声。是设计一因果IIR维纳滤波器对心〃)进行处理以得到s(〃)的最佳估

计

。

H (沪

1-0.6 广

Ssx （z ）

Sg)(z)= S3)

0.82

解得可行解* 7

_3_

T

o

由 S3)=

A 3（z ）=

1-0.3广 1 — 0.6

S3)=S5)H (Z )心)=(」0.6 预 _°&)

Sn （z ）一 Sg ）g ）（z ）一 S/z ）+ Sw （" -（1 —0.6广）（1 —

o.6z ）*

对S.(z)进行谱分解: 0.82 | ［二 q ：（l_ 我T ）（1—六） （1 一0.6z

-1

）（1 一0.6z ） 一（1 一0.6广）（1 一

0.6z ）

b ；（l + f2）= 2.18 得，f _ 0.6 1 + /2

~ 2J8

I 3 t | 3 1 ---- z 1 ------- z

1 —1 — 0.OZ

对S3)/B (广)进行因果和逆因果分解:

SJz ） 0.82

1 —0.6z

I 0.3

研尸）（1- 0.6z ）（l — 0.6/） 1-0.3z I-0.6 尸 1-0.3z 因果部分「军/I =―」

B （/）

1-0.6广

一 +

1 ___________ _____ 0.5z 1-0.3广 1 -0.6广 一 z-0.3 l-0.6z -1

•••Z T [//C （Z ）] = ZT

=0.5（0.3）〃的）

孔”（〃）弱=法寸，瓦⑵-Hjz）Sjz*衣

Z^d z

2河 %c. 0.82 x 0.5

(l-0.6zXz-0.3) z x dz

其中,

n=i

n^i

解得:

P

二0. 31225

_

0.82

0.5 0.82

房北|_(i-0.6^Xl-0.6^

_，

) — 1-0.3广 (1_0.6。1_0.6广)_

0.82x0.51 心

若用川)作s(〃)的估计，则估计误差为

e(n) = s(n)~ x(n)= -w(n) &(〃)= E g ，(〃)]= 1

A = 101g —=

0.5

s(n) = 0.95s(〃 -1) + w(n) x{n)

= 5(n) + v(n) 研口(〃W(i)] = 0.0975&

求2.47所示的二次方程，并写出卡尔曼滤

波器的标准关系式。

二次方程为Q=P " 3取正解)

.・.G = 一('P 、— = "22b « 0.235

R + C 2P L 31225

/. S(〃 I 〃)= a S(〃 一 11 〃 一 1) + G x(n) — aS(n - 11 /z - I)

= 0.95S(n -11/1-1) + 0.235 x(〃)一 0.95S(〃 一 11 〃 一 1)

2.11在卡尔曼滤波器的实际应用中，常采用下图的接法。s(〃)是确定的原始信号,

2.7已知

解：由题意得:

a=0.95 c=l

Q = 0.0975

维纳波波器

s(〃) + NQ)和s(〃) + NQ)是两个不相关的噪声环境测量得到的信号，滤波器输出y(n) 是原

始信号乂〃)的最佳估计,即y(〃)3(〃E(〃)

试解释为什么这种接法更符合维纳滤波器原理的假设条件，因而滤波效果会更好。

%! (〃) = s(〃)+ N](勿)

易(〃)=s(〃) + N 2

(n) ~

解：由于在实际中常需对非随机信号进行滤波，故采用互补型维纳滤波，其中有两个 滤波器，一个为高通，另一个为低通。但这时由于输入的信号是非平稳的，故不能直 接进行维纳滤波，这样就需对滤波模型进行改进。采用图中的模型后，维纳滤波器的 输入就为平稳的随机信号，符合维纳滤波理论。

y(〃)= 5(«)