第三章_地球重力场及地球形状的基本理论(1)

的加速度值，单位质点所受引力在数值上就等于加速度。
Foundation of Geodesy
第二节 地球重力场的基本原理
（2） 位函数的性质 ① 位函数是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行积 分。 V＝V1＋V2＋·····＋ Vn 所以，地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分体位 函数dVi之和，对整个地球而言，则有
重力位 W ( x, y, z)
地球引力位：
V (x, y, z) f dm (M ) r
离心力位：
Q(x, y, z) 2 (x2 y2)
2
重力位：W (x, y, z) V (x, y, z) Q(x, y, z)
f dm 2 (x2 y2 )
(M ) r
2
重
力 位
z
(x,
dm
V dV f
M
M
Foundation of Geodesy
z
(Xm,ym,zm)
dm Rψ
ρ
r S0
o
φ φm
λm λ
x
Se
y
S (X，y，z)
Foundation of Geodesy
第二节 地球重力场的基本原理
② 在空间直角坐标系中，引力位V确认这样一个加速度引力场，即 引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度 (或引力)向量的负值：
r2
r
引力位或位函数 ： 取质点m的质量为单位质量则有：
V f M r
此函数则为质点M的引力位或位函数
Foundation of Geodesy
第二节 地球重力场的基本原理
根据牛顿力学第二定律
Mm F ma f r 2
M dV a f r 2 dr gradV
上式表明： 引力位梯度的负值在数值上等于单位质点受r处质体M吸引而形成
第一节 地球及其运动的基本概念
b 行星质心与太阳质心间的距离向量，在相同的时间内所扫过的面 积相等，即面积速度(s/t ）=常数
s ab a 2 1 e 2
tT
T
c 行星运动周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之比为常量。
T 2 4 2
a 3 GM
Foundation of Geodesy
第一节 地球及其运动的基本概念
2
质体对外部点的引力位： V (x, y, z) f dm (M ) r
满足拉普拉斯方程：
2V x 2
2V y 2
2V z 2
0
Foundation of Geodesy
质体对外部点的引力位： V (x, y, z) f dm (M ) r
满足拉普拉斯方程：
2V 2V 2V 0 x 2 y 2 z 2
Pn0(x) Pn (x) ,0 n , x 1
递推公式
(n k 1)Pn1,k (x) (2n 1)xPnk (x) (n k) Pn1,k (x) ,0 k n Pnn (x) (1 x2 ) (2n 1)Pn1,n1(x) , k n
递推公式的初始值 P0 (x) 1, P1(x) x
引力为的零阶项表示把地球当作一个位于地球质心 的质点所产生的引力位，也可以认为是球心在地球质心 的均质球体产生的引力位。
Foundation of Geodesy
V
( , , )
n0
1
n1
n
(ank
k 0
cos k
bnk
sin
k ) Pnk
(cos )
球谐系数分析 ank , bnk
an0 f 1n Pn (cos1)dm
V
V
V
a x x , a y y , a z z
r 2 x xm 2 y ym 2 z zm 2
式中x, y, z为被吸引点坐标;
xm , ym , zm为吸引点坐标
若设：
a
ax2
a
2 y
az2
(a , x), (a , y), (a , z)为a与各坐标轴之间的夹角，则
ax a cos(a, x), ay a cos(a, y), az a cos(a, z)
S)
S
质
体 引 力
z
m 1
r (x, y, z)
位
dm ( ,, )
y o
x
质体(M)
Foundation of Geodesy
Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
离心力位 Q ( x, y, z)
Foundation of Geodesy
V
( , , )
n0
1
n1
n
(ank
k 0
cos k
bnk
sin
k ) Pnk
(cos )
球谐系数分析 ank , bnk
an0 f 1n Pn (cos1)dm
(M )
ank
2 (n k)! (n k)!
f
1n
Pnk
(cos1
)
cos
Mm F f r2
假如两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量dr，则必做功：
Mm dA f dr
r2
Foundation of Geodesy
第二节 地球重力场的基本原理
用V表示位能，此功必等于位能的减少：
dV f Mm dr r2
对上式积分，则得位能：
Mm
Mm
V dV f dr f
Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
引力位V (x, y, z)
质体引力：
F
f
(M
)
dm r2
r r
质体引力位：V (x, y, z) f dm
(M ) r
验证：
V
F
cos(F ,
Foundation of Geodesy
第三章 地球重力场及地球形状的基本理论
第一节 地球及其运动的基本概念
1.地球概说 1）地球的基本形状 地球表面积：5.1亿Km2，海洋占70.8%，陆地占29.2% 地球体积为10830亿Km3 地球的实际形状很不规则。从总 体情况看，地球的形状可用大地体 来描述：是一个两极略扁，赤道突 出，略显“梨形”的球体。 为计算和研究的方便，通常用旋转 椭球来表达地球形状。
(M )
ank
2 (n k)! (n k)!
f
1n
Pnk
(cos1
)
cos
k
1dm
(M )
bnk
2 (n (n
k)! k)!
f
1n Pnk (cos1)sin k1dm
(M )
一 阶项 二 阶项
a10 fMz0 , a 11 fMx0 , b11 fMy0
a21 f z1x1dm, (M )
y,
zP)
F
o
g
y
x Foundation of Geodesy
Earth Gravity Field
二、地球重力场模型（model of earth gravity field）
W (x, y, z) V (x, y, z) Q(x, y, z)
f dm 2 ( x2 y 2 )
(M ) r
ndation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy
大地测量学基础
Foundation of Geodesy
大地测量学基础 ndation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy Foundation of Geodesy
离心力：
P
2
离心力位： Q(x, y, z) 2 (x2 y 2 )
2
验证：
Q x
Px ,
Q y
Py ,
Q z
0
离
心 力
z
位
x2 y2
m ( x, y, z)
y o
x Foundation of Geodesy
Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 重力位函数：重力等于引力与离心力之和，重力 位等于引力位与离心力位之和。
f
Mm r2
ρ
M为地球质量，
F
P
rg
m为质点质量，
o
f为万有引力常数，
y
r为质点到地心的距离。
x
Foundation of Geodesy
第二节 地球重力场的基本原理
2、离心力
P m 2 为地球自转速度 2 86164.095 7.292115105 rad • s1 为质点所在平行圈半径
Z
x sin cos
y
sin
sin
z cos
(M ) O
P
zY x
y X
2
2V
2
2
V
2V
2
cot
VFounsdina12tion2oV2f
0
Geodesy
V
( , , )
n0
1
n1
n
(ank
k 0
cos k
bnk
sin
k ) Pnk
(cos )
伴随勒让德多项式 Pnk (cos ) 引力位球谐函数
3、地球重力 为F与P的和向量
gFP
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第二节 地球重力场的基本原理
二）引力位和离心力位 1、引力位 （1）位函数的定义
位函数：在一个参考坐标系中，引力位对被吸引点三个坐标方向的 一阶导数等于引力在该方向上的分力。
借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的。 空间任意两质点m和M相互吸引的引力公式是 ：
(cos )
球谐系数分析 ank , bnk
an0 f 1n Pn (cos1)dm
(M )
ank
2 (n k)! (n k)!
f
1n
Pnk
(cos1
)
cos
k
1dm
(M )
bnk
2 (n (n
k)! k)!
f
1n Pnk (cos1)sin k1dm
(M )
零 阶项 a00 fM
k
1dm
(M )
bnk
2 (n k)! (n k)!
f
Z1n Pnk (cos1)sin k1dm (M ) dm(1,1, 1) P
(M ) O
zY x
y X
Foundation of Geodesy
V
( , , )
n0
1
n1
n
(ank
k 0
cos k
bnk
sin
k ) Pnk
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第一节 地球及其运动的基本概念
★电离层：中层顶部到800km的高空；温度随高度增加而急剧上升
，大部分空气被电离，对电磁波的传播影响较大。
★外 层：又称散逸层，电离层以上；空气十分稀薄；受地球引力
小。 2.地球运动概说
z
ω
1）地球自转：
地球自转的线速度：
V 2 R cos h
T
V R
oφ
λ
y
x
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第一节 地球及其运动的基本概念
2）地球公转：
地球公转遵循开普勒三定律和万有引力定源自文库。
① 开普勒三大行星定律 a 行星运行的轨道是一个椭圆，而该椭圆的一个焦点与太阳的质 心相重合
a 1 e2
r 1 e cos f
远日点
f 近日点
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第一节 地球及其运动的基本概念
2）物理参数 自转速度：ω=7.29211515×10-5rad/s 二阶带球谐系数：J2=1082.64×10-6 地心引力常数：GM=398603km3/s2
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第二节 地球重力场的基本原理
一）引力与离心力
1、引力F
z ω
F
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第二节 地球重力场的基本原理
（3）引力位的物理意义 引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。 在某一位置处质体的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到
该点所做功。
Q
A dV V QV Q0
Q0
Q
Q0
F
m
M
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第一节 地球及其运动的基本概念
2）地球大气 ★大气厚度：2000～3000km； ★大气质量：3.9×1021克 ★从地面由低到高可分为：对流层，平流层，中层，电离层(热层)， 外层(散逸层),对电磁波传播的影响，主要是对流层和电离层。 ★对流层：海平面以上40～50km；气温随高度增加而降低；空气对流 ，运动显著；湿度大；天气多变。 ★平流层：对流层以上50～55km，气温不受地面影响；空气水平运动 ；水汽含量极少。 ★中 层：平流层以上80～85km，气温随高度增加而迅速下降，空气 对流。
b21 f y1z1dm,
(M )
b22
1 2
f
x1 y
② 牛顿万有引力定律：宇宙中任意两个质点都彼此互相吸引，引 力的大小与它们的质量的乘积成正比，与它们的距离平方成反比。 是在开普勒三定律基础上推导来的，其包含了开普勒三定律。
3.地球基本参数
k 2 Mm F
r2
1）几何参数 长半径：a=6378.164km 扁 率：α=1/298.257
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