链式法则一阶全微分形式不变性

( x , y ) 的两个偏导数可用下列公式计算 ∂z ∂ z ∂u ∂ z ∂ v ∂z ∂ w , = + + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x z ∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂ v ∂ z ∂w . = + + ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂w ∂y
u v w
x
y
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2） 类似地再推广 设 u = φ ( x , y ) 、 v = ψ ( x , y )、 ） 类似地再推广.
w = w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数， 的偏导数，
复合函数 z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )]在对应点
u v
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
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例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
∂w ∂2w 求 , . u x ∂x ∂x∂z w y 解: 令 u = x + y + z , v = xyz , 则 f1′ , f2′ v z w= f (u, v) ∂f ∂2 f ∂w , f12 = ,⋯ 为简便起见 , 引入记号 f1 = + f2 ⋅ yz ∂u ∂u∂v ∂x + y z f2 ( x + y + z, x yz)
∂2u
∂ ∂u sinθ ∂ ∂u ∂ ∂u ) (2) = ( )) ⋅cosθ − ( = ( 注意利用 2 r ∂θ ∂x ∂x ∂r ∂x ∂x ∂x 已有公式 ∂ ∂u ∂u sinθ = ( cosθ − ) ⋅ cosθ ∂r ∂r ∂θ r ∂u sinθ sinθ ∂ ∂u − ( cosθ − )⋅ ∂θ r ∂θ ∂r r
u
x
y
z
v
ϕ1 ;
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ϕ2
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u
v
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x y
二、一阶全微分形式不变性
设函数 都可微, 则复合函数 z = f (ϕ (x, y) ,ψ (x, y))的全微分为 ∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y ∂z ∂u ∂z ∂v + ( ⋅ + ⋅ ) dy ∂u ∂y ∂v ∂y ∂u ∂u ∂v ∂v ( dx + dy ) ( dx + dy ) ∂x ∂y ∂x ∂y
§12.2 多元复合函数的求导法则
一元复合函数 求导法则 微分法则
本节内容: 多元复合函数求导的链式法则 一阶全微分形式不变性
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现设 则复合后, 有 变量间关系: 变量间关系
z
u
v
x y
定理12.2.1. 设u( x , y ), v ( x , y )在( x0 , y0 )可偏导 . 若 f 在 定理 ( u0 , v 0 )可微 , 则f ( u( x , y ), v ( x , y ))在( x0 , y0 )可偏导 , 且
∂u ∂x
r
x
y
θ
2
2 ∂u 2 sinθ cosθ ∂u sin θ + + ∂r r ∂θ r2
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∂2u ∂x2
同理可得
∂u 2sinθ cosθ ∂u sin2 θ + + 2 θ ∂ ∂r r r
2 2 2 ∂2u ∂2u 2 ∂ u sinθ cosθ ∂ u cos θ sin θ + 2 + 2 2 = 2 ∂r∂ r θ ∂y ∂r ∂θ r2 ∂u 2sinθ cosθ ∂u cos2 θ − + 2 θ ∂ ∂r r r 2 1 ∂2u ∂2u ∂2u ∂ u + 2 2 ∴ 2+ 2 = 2 ∂r r ∂ θ ∂x ∂y 1 ∂ ∂u ∂2u = 2 [ r (r ) + 2 ] ∂r ∂r ∂θ r
4
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x2 + y2 +x4 sin 2 y
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dz . 例3. 设 z = uv + sint , u = e , v = cost , 求全导数 dt dz ∂z du ∂z = ⋅ + 解: dt ∂u dt ∂t t z
t
= vet
+ cos t
= e t (cost − sin t) + cos t
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特别地,设 z = f (x, v) , v =ψ (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有
z
v
x
y
∂z ∂ f = ∂x ∂x
∂z ∂y
∂z 表示固定复合函数 z = f ( x,ψ ( x, y )) 中的 y 对 x 求导, ∂x
∂z ∂ f 注意: 不同 注意 这里 与 ∂x ∂x
推广: 推广 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u, v, w) ,
u
dz ∂z du ∂z dv ∂z dw = ⋅ + ⋅ + ⋅ d t ∂u d t ∂v dt ∂w dt
z
v w
t
dz 全导数. 以上公式中的导数 也为全导数. dt
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解法2 微分法. 解法 微分法. 对方程两边求微分:
x y F ⋅ d( ) + F2 ⋅d( ) = 0 1 z z zdx − xdz zdy − ydz F ⋅( ) + F2 ⋅ ( ) =0 1 z2 z2 F1dx +F2 d y xF + yF2 1 dz = z z2
∆u ∆ v o( ρ ) ), = lim ( f u ( u0 , v 0 ) + f v ( u0 , v 0 ) + ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x
2
ρ = ∆u2 + ∆v2 .
2
o 注意到 ∆ x → 0 时， ( ρ ) = o( ρ ) ⋅ | ∆x | ⋅ ∆u + ∆v → 0, ρ ∆x ∆x ∆x ∆ x
∂f 表示固定 f ( x, v ) 中 v 对 x 求导. ∂x
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例1. 设 z = eu sin v, u = xy , v = x + y , 求 ∂z , ∂z . ∂x ∂y ∂z ∂z ∂v + ⋅ 解: u x ∂x ∂v ∂x z
= e sin v
u
+ e cos v ⋅1
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内容小结
复合函数求导的链式法则 “连线相乘，分线相加”
z = f (u, v) , u = u( x, y) , v = v ( x, y)
∂z ∂z ⋅ ∂u ∂z ∂v = + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂z ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y 例:其它变形
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∂z xe − xy . = z ∂y e − 2
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例7. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程 解法1 解法 利用偏导数公式. 确定的隐函数, 则
zF ∂z 1 = =− y x F + y F2 ∂x ∂x 1 F ⋅ (− x ) + F2 ⋅(− 2 ) 1 2
∂u y ∂u x = + ∂r r ∂θ r 2 ∂u ∂u cosθ = sinθ + ∂r ∂θ r ∂u 2 ∂u 2 ∂u 2 1 ∂u 2 ∴ ( ) + ( ) =( ) + 2 ( ) ∂x ∂y ∂r r ∂θ
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∂u ∂u ∂u sinθ 已知 = cosθ − ∂x ∂r ∂θ r
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证: 设 ∆u = u( x0 + ∆x, y0 ) − u( x0 , y0 ), ∆v = v( x0 + ∆x, y0 ) − v( x0 , y0 ).则
f (u( x0 + ∆x, y0 ), v( x0 + ∆x, y0 )) − f (u( x0 , y0 ), v( x0 , y0 )) zx ( x0 , y0 ) = lim ∆x→0 ∆x
u =t , v =t
易知:
0,
u2 +v2 = 0
但复合函数 z = f (t, t ) = t 2 ∂z du ∂z dv dz 1 = ≠ ⋅ + ⋅ = 0⋅1+ 0⋅1 = 0 ∂u dt ∂v dt dt 2
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u = ϕ (t), v =ψ (t), w = ω (t)
∂f ∂2 f 为简便起见 ,+ y( x + z) f1 = x y2 f12f= + y f ⋯ = f11 引入记号 f12 +∂u , z 22∂u∂v ,2
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∂ w ∂x∂z
2
+ f12 ⋅ x y
+ f22 ⋅ x y
例5. 设 极坐标系下的形式 解: 已知
二阶偏导数连续,求下列表达式在
∴ z x ( x0 , y0 ) = z u ( u0 , v 0 )u x ( x0 , y0 ) + zv ( u0 , v 0 )v x ( x0 , y0 ).
类似可得第二式. 类似可得第二式
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若内层函数都是一元函数,则有如下 若内层函数都是一元函数 则有如下
定理. 定理 若函数 处可微, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链式法则 d z ∂z d u ∂z dv = ⋅ + ⋅ d t ∂u d t ∂v d t
z = f (u, v)
u
z
t
v
dz 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt
链式法则：连线相乘，分线相加
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说明: 说明 若定理中
可微减弱为 可偏导, 可微 可偏导
则定理结论不一定成立,见例12.2.1, p.156. 例 u2v , u2 + v2 ≠ 0 2 2 又例如: 又例如 z = f (u, v) = u + v
F ⋅1 1 z
z
z
∂z =− ∂y F1 ⋅ (− zx ) + F2 ⋅ (− zy )
2 2
F2 ⋅ 1 z
z F2 = x F + y F2 1
故
Fx ∂z z ∂z ∂z (F dx =F2 d y) +− dz = dx + dy = 1 x F + y F2 ∂x ∂x ∂y Fz 1
u
v
y
∂z ∂y
u
∂z ∂v + ⋅ ∂v ∂y
= e sin v
+ e cos v ⋅1
u
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例2. u = f (x, y, z) = e
x2 + y2 +z2
∂u ∂ f = 解: ∂x ∂x
= 2xe
x2 + y2 +z2
∂u ∂u , z = x sin y, 求 , ∂x ∂y
du
dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 全微分形式不变性. 形式都一样, 这性质叫做一阶全微分形式不变性 全微分形式不变性
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利用一阶全微分形式不变性解题
例 6. 已知 e
− xy
z − xy 解 ： ∵ d ( e − 2 z + e ) = 0,
z x ( x0 , y0 ) = z u ( u0 , v 0 )u x ( x0 , y0 ) + zv ( u0 , v 0 )v x ( x0 , y0 ) z y ( x0 , y0 ) = z u ( u0 , v 0 )u y ( x0 , y0 ) + zv ( u0 , v 0 )v y ( x0 , y0 ).
∂ z ∂z − 2 z + e = 0 ，求 和 . ∂x ∂y
z
∴e
z
− xy
d ( − xy ) − 2dz + e dz = 0,
z
− xy
(e − 2)dz = e
− xy
( xdy + ydx )
− xy
ye xe dz = z dx + z dy ( e − 2) ( e − 2)
∂z ye − xy = z , ∂x e − 2
,则
r
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
z
∂u ∂u ∂r = (1) ∂x ∂r ∂x
θ
y (当θ在二、三象限时, θ = arctan + π ) x
∂u ∂u sinθ = cosθ − ∂r ∂θ r
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∂u ∂u ∂r ∂u ∂θ = + ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y
r
x
z
θ
y
1 x ∂ r y ∂θ x = , = = 2 2 y 2 x +y ∂ y r ∂ y 1+ ( x )
2
u
+2ze
2
x2 + y2 +z2
⋅ 2 xsin y
z
x y
= 2 x (1+ 2 x sin y) e
2
x2 + y2 +x4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂z + ⋅ = ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
+2ze
x2 + y2 +z2⋅ x2 cos y
= 2 ( y + x sin y cos y ) e