一阶微分方程常见类型及解法

dx
③利用一阶线性非齐次微分方程的方法求解，
并将变换回代。
13-12
2020/3/2
例6. 解方程
解: 原方程为
是伯努利方程，
其中 P(x) 1 , Q(x) xln x, 2 ，
x
令
z

y12

1 y
，则有
dz dx

1 x
z

x ln
x
，其通解为
z

e
1 x
d
x

所求通解: tan(x y 1) x C
（C 为任意常数）
13-15
2020/3/2
例8. 求下列微分方程的通解
解: 令 X x 1,Y y 1，则
dx dX ,dy
故原方程为

dY, x
dY dX
yX
X Y X Y
Y,x
dY ，即 dX
y

2
2020/3/2
第二节 一阶微分方程 的常见类型及解法
类型一、可分离变量微分方程
类型二、齐次方程 类型三、一阶线性微分方程
（含贝努利方程）
类型四*、可用简单变量代换求解的 微分方程
13-1
2020/3/2
类型一、可分离变量的微分方程
dy dx

f1 ( x)
f2 ( y)
可分离变量 的微分方程
或
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x)
即
两端积分得对应齐u 次方Q(程x)通e解P(x)
dyx
C e
dx C
P(
x)一dx定要记住
故原方程的通解
y

e
P(x)d
x

Q(x)
e
P(
x)d
x
d
x

C

【即 y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx】
2020/3/2
分离变量 cos u d u dx
sin u
x
两边积分 得
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x 故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 )。
x
13-6
2020/3/2
例4. 解微分方程
解: 方程变形为
dy dx

2
y x
⑵利用可分离变量方程、齐次方程或一阶线性微分方程 的求解方法，求出变换后的微分方程的通解。
⑶将变量代换中的变量代回，即可求得原微分方程的通 解。
13-14
例7. 求下列微分方程的通解:
2020/3/2
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
1 Y X
1 Y
X
，
Y
故通解为 y x2 1 C （隐式通解）
或 y C （显式通解）, （C 为任意常数 ). x2 1
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为 y 1 . x2 1
13-4
2020/3/2
类型二、齐次方程
求解步骤:
⑴令 u y ,
x
⑵代入原方程得 u x d u (u)
对应齐次方程通解
非齐次方程特解
13-10
2020/3/2
例5. 解方程
解:
P(x)
2
5
, Q(x) (x 1)2 . 原方程通解为
x 1
13-11
1. 解伯努利方程
d y P(x)y Q(x) y dx
求解方法：
①变形得
( 0,1)
2020/3/2
即
②令 z y1 , d z (1 )P(x)z (1 )Q(x)
13-7
类型三、一阶线性微分方程
2020/3/2
d y P(x)y Q(x) dx
若Q(x) 0 , 称为一阶线性齐次微分方程; 若Q(x) 0 , 称为一阶线性非齐次微分方程.
13-8
1. 解一阶线性齐次微分方程
dy P(x)y 0 dx
分离变量得
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C eP(x) dx
2020/3/2
13-9
2020/3/2
2. 解一阶线性非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) dx
常数变易法: 设通解 y(x) u(x) e P(x) d x , 则
ue P(x)d x P(x)u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
(
x
ln
x)e
(
1 x
)
d
x
d
x

C


x(
x

x
ln
x

C),


所以所求方程的通解为 1 x(x x ln x C).
y
13-13
2020/3/2
类型四、可用简单变量代换求解的微分方程
解题思路:
⑴观察微分方程的形式，作适当的变量代换，将原微 分方程转化为可分离变量方程、齐次方程或一阶线 性微分方程。
N
2
(
y)
d
y

0
已分离变量
分离变量
的微分方程
g(y)d y f (x)dx
两边同时积分
只是指一个 原函数
g( y)d y f (x)d x C ---隐式通解
13-2
2020/3/2
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
说明：在求解过程中每 一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.
C1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
13-3
xydx ( x2 1) dy 0 例2. 解初值问题 y(0) 1
2020/3/2
dy
x
解: 分离变量得 y 1 x2 d x,
两边积分得 ln y 1 ln (x2 1) ln C , 2
dx
⑶分离变量:
du d x , （当(u) u 时）
(u) u x
⑷两边积分, 得

du
(u) u
ln x C,
⑸积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
13-5
例3. 解微分方程 y y tan y . xx
解: 令 u y , 则y u x u, 代入原方程得 x u x u u tan u


y x
2

,令
u

y , 则有 x
u xu 2u u2
分离变量
du u2 u
dx,即 x
( 1 1)du dx
u 1 u
x
积分得 ln u 1 ln x ln C , 即 x (u 1) C
u
u
代回原变量得通解
x ( y x ) C y (C 为任意常数)