高中数学高一上册复习资料

第一章 集合与简易逻辑

一、集合： 1. 集合的定义： 集合的表示方法：

数集：*,,,,,N N Z Q R C (复数集)

集合的特性：

2. 元素与集合的关系： 集合与集合的关系：

空集是任何集合的__________，是任何非空集合的_______________。 任何一个集合都是他自身的____________。 集合{123,,,

,n a a a a } 的子集个数有____个，真子集有____个，非空真子集有____个。

当A B ⊆时，一般要分A =∅与A ≠∅两种情况。

3. 交集是指A 与B 中公共元素构成的集合，A ∩B={x| }

并集是指所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，A ∪B={x| } 一般采用画出数轴来求两个集合的交集或并集。

有关系式：①若A ∩B=A ，则____________；②若A ∪B=A ，则_____________； ③()()U U C A C B =∩__________ 、()()U U C A C B =∪____________。 二、不等式解法：

②||(0)ax b m m ax b m ax b m +>>⇔+>+<-或

③||||||ax b n

n ax b m ax b m +>⎧<+<⇔⎨+<⎩

2. 二次不等式：220(0)ax bx c ax bx c ++>++<与二次函数2y ax bx c =++

3. 分式不等式：

0()()0ax b

ax b cx d cx d +>⇔++>+

()()000ax b cx d ax b cx d cx d ++≤⎧+≤⇔⎨+≠+⎩

形如

x a

c x b

+>+类型的可移项

0x a c x b +->+化简来解。 4. 简单高次不等式：利用数轴标根法求解集。

5. 指数不等式：()()f x g x a a >⇒

01,__________1,___________

a a <<>①时②时

6. 对数不等式：log ()log ()a a f x g x <可转化为不等式组

①当01a <<时，______________________⎧⎨⎩ ；当1a >时，___________

___________⎧⎨⎩

。

解指数不等式，对数不等式时，必须考察函数的单调性问题，特别注意不能忽视了对

数的真数必须大于0，不等式的解集必须用集合或区间表示出来。 三、逻辑联结词：或（并集）、且（交集）、非（补集）

1. 命题可分为真命题、假命题，也可以分为简单命题、复合命题。 复合命题形式有“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”三种形式。

3. 四种命题的关系：

① 原命题为真，则其逆命题与否命题不一定为真，而其逆否命题一定为真。 ② 互为逆否命题的真假相同，逆命题与否命题的真假相同。

4. 充要条件：

①若A B ⇒但B A ，则A 是B 的___________条件。 ②若A B 但B A ⇒，则A 是B 的___________条件。 ③若A B ⇔，则A 是B 的___________条件。

④若A B 且B A ，则A 是B 的___________条件。 四、恒成立问题：

1. 20ax bx c ++>恒成立，可令2()f x ax bx c =++，函数图象恒在x 轴上方。

等价于：000a b c =⎧⎪

=⎨⎪>⎩

①

00a >⎧⎨∆<⎩

②

2. 20ax bx c ++<恒成立，等价于：0

00a b c =⎧⎪

=⎨⎪<⎩

①

00a <⎧⎨∆<⎩

②

例：已知不等式22(1)2(1)30a x a x ----<恒成立（或解集为R ），求a 的取值范围。

第二章 函数

一、函数()y f x =及有关性质。

1. 函数定义：

()y f x =中，自变量x 的取值范围为函数的定义域。当x a =时，()y f a =叫函数值。所有函数值的集合叫做函数的值域。 2. 映射的定义： :f A B →

两个允许： 两个不允许：

3. 同一函数：①_______相同。②_________相同。③值域相同。（可由①②得③）

4. 函数定义域求法：使函数有意义的条件。

①整式函数（一次函数、二次函数）定义域为R 。 ②分式函数的分母不为0。

③偶次根式函数，被开放数大于或等于0。()f x ()0f x >）

④对数函数的底数大于0且不等于1，真数大于0。 有多个限制条件的转化为不等式组求定义域。 5.函数的单调性：①定义：

②逆运用：

当()y f x =在区间[m ，n]上为增函数时，若[()][()]f x f g x ϕ>则有：()()()()x g x x n g x m ϕϕ>⎧⎪

≤⎨⎪≥⎩

当()y f x =在区间[m ，n]上为减函数时，若[()][()]f x f g x ϕ>则有：()()()()x g x x m g x n ϕϕ<⎧⎪

≥⎨⎪≤⎩

③常用函数的单调性：

Ⅰ.一次函数y kx b =+，当0k >时为增函数；当0k <时为减函数。 Ⅱ.二次函数2y ax bx c =++，当0a >时在(,]2b a -∞-为减函数；在[,)2b

a

-+∞为增函数。当0a >时在(,]2b a -∞-

为增函数；在[,)2b

a

-+∞为减函数。与开口方向和对称轴有关。

Ⅲ.反比例函数1y x =

在()(),00-∞+∞与，上均为减函数；1

y x

=-在()(),00-∞+∞与，

上均为增函数。 Ⅳ.x

y a = ()01a a >≠且，当01a <<时为减函数；当1a >时为增函数。

Ⅴ.log a y x = ()01a a >≠且，01a <<时，在()0,+∞上为减函数；当1a >时，在

()0,+∞上为增函数。

6.反函数：求函数()y f x =的反函数的方法： （1） 先根据原函数的定义域求出其值域 （2） 由()y f x =解出()x y ϕ=

（3） 将()x y ϕ=中的,x y 互换，即得反函数1

()y f x -=标明定义域

有关性质：（1） 原函数()y f x =与反函数1

()y f

x -=的定义域和值域正好互换，原

函数过点(),a b ，则反函数过点(),b a 。

（2） 互为反函数的图象关于y x =成轴对称图形。

（3） 原函数与反函数的单调性相同。

7.函数得奇偶性：存在奇偶性得条件时定义域必须关于原点对称，在定义域内，将

x x -换成后（1）若()()f x f x -=，则()y f x =为偶函数。（2）若()()f x f x -=-，