运筹学 线性规划在管理中的应用案例

第五章线性规划在管理中的应用

某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：

司的利润最大化。

1、判别问题的线性规划数学模型类型。

2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。

3、建立该问题的线性规划数学模型。

4、用线性规划求解模型进行求解。

5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。

6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。

解：

1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。

2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：

+ +

决策的限制条件：

8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件

4x1+ 3x2≤350 车床限制条件

3x1 + x3≤150 磨床限制条件

即总绩效测试（目标函数）为：

max z= + +

3、本问题的线性规划数学模型

max z= + +

S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500

4x1+ 3x2≤350

3x1 + x3≤150

x1≥0、x2≥0、x3≥0

4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。

5、灵敏度分析

目标函数最优值为 : 30

变量最优解相差值

x1 50 0

x2 25 0

x3 0 .083

约束松弛/剩余变量对偶价格

1 0 .05

2 75 0

3 0 .033

目标函数系数范围 :

变量下限当前值上限

x1 .4 .5 无上限

x2 .1 .2 .25

x3 无下限 .25 .333

常数项数范围 :

约束下限当前值上限

1 400 500 600

2 275 350 无上限

3 150

（1）最优生产方案：

新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。

（2）x3 的相差值是意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润元/件，提高到元/件。

（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；

三个对偶价格，0，表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。

（4）目标函数系数范围

表明新产品Ⅰ的利润在元/件以上，新产品Ⅱ的利润在到之间，新产品Ⅲ的利润在以下，上述的最佳方案不变。

（5）常数项范围

表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在到工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献元，0元，元不变。

6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：

max z= + +

S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500

4x1+ 3x2≤350

3x1 + x3≤150

x3≥18

x1≥0、x2≥0、x3≥0

这是一个混合型的线性规划问题。

代入求解模板得结果如下：

最优解（44，10，18），最优值：元。

灵敏度报告：

目标函数最优值为 :

变量最优解相差值

x1 44 0

x2 10 0

x3 18 0

约束松弛/剩余变量对偶价格

2 144 0

3 0 .033

4 0

目标函数系数范围 :

变量下限当前值上限

x1 .4 .5 无上限

x2 .1 .2 .25

x3 无下限 .25 .333

常数项数范围 :

约束下限当前值上限

1 460 500 692

2 206 350 无上限

3 18 150 165

4 0 18 30

（1）最优生产方案：

新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。最大利润值为元。

（2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。

（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品Ⅲ的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；

四个对偶价格，0，，表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格表明新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少元。

（4）目标函数系数范围

表明新产品Ⅰ的利润在元/件以上，新产品Ⅱ的利润在到之间，新产品Ⅲ的利润在以下，上述的最佳方案不变。

（5）常数项范围

表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。各自每增加一个工时对总利润的贡献元，0元，元，元不变。

某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。问应如何切割可使所用的原铜板为最少

解：本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有可能切割的方式并建立数学模型：min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10

. 3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75

x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50

x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10≥110

x i≥0 （i=1，2…..10）

用Excel线性规划求解模型板求解：

最优解：（ ,0,0,0,20,0,,0,0,0），最优值：

因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。即其结果为：

即最优解：（19 ,0,0,0,20,0,,0,0,0），最优值：64

灵敏度分析报告：

目标函数最优值为 :

变量最优解相差值

x1 0

x2 0 .056

x3 0 .111