2019.12上海高三松江一模数学(定稿)题

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松江区2019学年度第一学期期末质量监控试卷

高三数学

（满分150分，完卷时间120分钟） 2019．12

考生注意：

1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，

，，则A B = ▲ ．

2．若角α的终边过点(4,3)P -，则3sin()2

π

α+= ▲ ． 3．设1i

2i 1i

z -=

++，则z = ▲ ． 4．5

22x x ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的展开式中4x 的系数为 ▲ ．

5．已知椭圆22

194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1PF = ▲ ．

6．若关于,x y 的二元一次方程组

{

42mx y m x my m

+=++=无解，则实数m = ▲ ．

7．已知向量(1,2)a =，(,3)b m =-，若向量(2)a b -∥b ，则实数m = ▲ ． 8．已知函数()y f x =存在反函数1

()y f

x -=，若函数

()2x

y f x =+的图像经过点(1,6)，则函数12()log y f x x -=+的图像必过点 ▲ ．

9．在无穷等比数列{}n a 中，若121

lim()3

n n a a a →∞

++

+=，

则1a 的取值范围是 ▲ ． 10．函数ax b

y cx d

+=

+的大致图像如图，若函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，且1x =-和2y =是其两条渐近线，则:::a b c d = ▲ ．

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11．若实数,0a b >，满足abc a b c =++，22

1a b +=，则实数c 的最小值为 ▲ ． 12．记边长为1的正六边形的六个顶点分别为123456,,,,,A A A A A A ，集合

{,(,1,2,3,4,5,6,)}i j M a a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素m 、n ，则0m n ⋅=的

概率为 ▲ ．

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4

题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．

13．已知l 是平面α的一条斜线，直线m α，则

(A) 存在唯一的一条直线m ，使得l m ⊥ (B) 存在无限多条直线m ，使得l m ⊥ (C) 存在唯一的一条直线m ，使得l ∥m (D) 存在无限多条直线m ，使得l ∥m 14．设,x y R ∈，则“2x y +>”是“,x y 中至少有一个数大于1”的

(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 15．已知b 、c R ∈，若2

||x bx c M ++≤对任意的[0,4]x ∈恒成立，则 (A) M 的最小值为1 (B) M 的最小值为2 (C) M 的最小值为4 (D) M 的最小值为8 16． 已知集合{1,2,3,

,10}M =，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A

取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，则10S = (A) 45 (B) 1012 (C) 2036 (D) 9217

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点． （1）求圆锥的侧面积与体积；

（2）求异面直线CD 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

A

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18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

已知函数2

()cos 2sin f x x x x =-．

（1）求()f x 的最大值；

（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f A =， b 、a 、c 成等差数列，且2AB AC ⋅=，求边a 的长．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0d 、1d 、2d 、

3d ．当车速为v （米/秒），且[0,33.3]

v ∈时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随

地面湿滑程度等路面情况而变化，[0.5,0.9]k ∈）．

（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；并求0.9k =时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）

（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时（精确到1千米/小时）？