大一高数上_PPT课件_第三章

0 0

步骤: 00
1 0

x 0
0 ln 0 取对数 ln 1 0 . 0 ln
(0 )
x ln x
例9
x 求 lim x .
0
解
原式 lim e
x 0
e
x 0
lim
1 x 1 x2
e x 0
B
D
o a
1
x
2 b
x
推论
如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那
么f(x)在区间I上是一个常数。
证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1<x2)，应用拉 格朗日中值定理，就得
f(x2)f(x1)f ()(x2x1) (x1< < x2)。
由假定，f ()0，所以f(x2)f(x1)0，即
②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点， 如 f ( x ) x ln( x 2) 在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而
x f ( x ) ln( x 2) x2
x sin x 例 3．求 lim 。 3 x 0 x sin x 1 x sin x 1 cos x lim lim 解： lim 。 3 2 x 0 6 x x 0 x 0 6 x 3x arctan x 例 4．求 lim 2 。 x 1 x 1 1 1 arctan arctan arctanx xx 2 22 2 22 x x x 1 1 x xx 2 2 lim lim lim 1 lim lim 2 lim lim lim 1 1 1。 解： 解： 解：lim 。 。 2 2 2 x x x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x xx 2 x xx x xx22
第三章 微分中值定理与导数的应用
§3. 1 微分中值定理 一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导
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（3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在(a , b)内至少存在一点 , (a , b)使得函数 f ( x )在该点的导数为零，即 f ( ) 0
1 由于 f(0)0， f ( x) ，因此上式即为 1 x x ln(1 x) 。 1 又由0<<x，有 x ln(1 x) x 。 1 x
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x )及 F ( x ) 在闭区间[a , b]上连续,在开区间 (a , b ) 内可导,且 F ' ( x ) 在 (a , b ) 内每一点处均不为零，那么在 ( a , b ) 内至少 有一点 ( a b ),使等式 f (a ) f (b) f ' ( ) ' 成立. F (a ) F (b) F ( )
定理 设
(1) 当 x a时,函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零; ( 2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x )及 F ( x ) 都存在 且 F ( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大); x a F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim . x a F ( x ) x a F ( x )
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
f ( x ) 0 如果 仍属 型，且 f ( x ), F ( x ) 满足 F ( x ) 0 定理的条件，可以继续 使用洛必达法则，即
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim . x a F ( x ) x a F ( x ) x a F ( x )
定义
如果当 x a (或 x ) 时，两个函数 f ( x) 与 F ( x) 都趋于零或都趋于无穷大，那么 f ( x) 极限 lim 可能存在、也可能不存在．通 x a F ( x) ( x ) 0 常把这种极限称为 或 型未定式. 0 ln sin ax tan x 0 lim ,( ) ,( ) 例如, lim x 0 ln sin bx x 0 x 0
ln x 例 5．求 lim n (n>0)。 x x 1 ln x 1 x 解： lim n lim n 1 lim n 0 。 x nx x x x nx
x 例 6． lim x (n 为正整数，>0)。 x e n(n 1) x n 2 xn nx n 1 lim 解： lim x lim x 2 x x e x e x e n! lim n x 0 。 x e
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例 推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
0 一、 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法
0 0

0 一、 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
当x 时, 该法则仍然成立.
f ( x) f ( x ) lim lim . x F ( x ) x F ( x )
当x a , x 时的未定式 , 也有相应的洛必达法则.
sin ax 例 1．求lim (b 0)。 x 0 sin bx (sin ax) sin ax a cos ax a lim lim 。 解： lim x 0 sin bx x 0 (sin bx) x 0 b cos bx b
n
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法
0 0

关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ) .
1. 0 型
0

1 1 步骤: 0 , 或 0 0 . 0
n
例 7 ．求 lim+ x ln x (n>0) 。
几何解释:
y
C
y f ( x)
若连续曲线弧的两个 端点的纵坐标相等， 且除去两个端点外处 o a 1 2 b x 处有不垂直于横轴的 切线， 在曲线弧AB上至少有一点C , 在该点处的
切线是水平的 .
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等；
这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使 y x0 2 x x0 0 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。 例如, y x , x [2,2];
在[2,2]上除f (0)不存在外, 满足罗尔定理的 f ( x ) 0. 一切条件, 但在内找不到一点能使
又例如, f ( x ) 1 x , x (0,1], f (0) 0;
在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的 一切条件, 但在(0,1)内找不到一点能使f ( x) 0. 再例如 f ( x ) x , x [0,1].
在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件,但也找不到使 f ( x ) 0的点.
lim x ln x

e
ln x x 0 1 x lim
e 0 1.
应注意的问题： 1 ．洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最 好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽 可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时， 应尽可能应用，这样可以使运算简捷。
tan x x 例 10．求 lim 2 。 x 0 x sin x sec 2 x 1 tan x x tan x x lim lim 解： lim 2 2 3 x 0 x 0 x sin x x 0 3 x x 2 sec 2 x tan x 1 tan x 1 2 lim limsec x 。 x 0 6x 3 x 0 x 3
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理
( 2) (1)
如果函数 f(x)在
闭区间[a , b]上连续,在开区间( a , b ) 内可导,那么在
( a , b ) 内至少有一点 ( a b )，使等式
f (b ) f (a ) f ' ( )(b a ) 成立.
x 0
1 1 ). sin x x
()
解
1 cos x x sin x lim 原式 lim x 0 sin x x cos x x 0 x sin x
sin x lim 0. x 0 2 cos x x sin x
3. 0 ,1 , 型
x 3 3x 2 例 2．求 lim 3 。 2 x 1 x x x 1 ( x 3 3x 2) x 3 3x 2 lim 3 解： lim 3 2 x 1 x x x 1 x 1 ( x x 2 x 1) 3x 2 3 6x 3 lim 2 lim 。 x 1 3 x 2 x 1 x 1 6 x 2 2
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
f (b) f (a ) f ( ) ba
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
A
y
C
M N
y f ( x)
f(x2)f(x1)。
因此 f(x)在区间I上是一个常数。
x ln(1 x) x 。 例 2．证明当 x>0 时， 1 x 证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足 拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有 f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
2 f ( x ) x 2 x 3 ( x 3)( x 1). 例如,
在[1,3]上连续, 在(1,3)内可导, 且 f ( 1) f ( 3) 0, f ( x ) 2( x 1), 取 1, (1 ( 1,3)) f () 0.
x 0
1 ln x n x x ln x 解： lim lim lim x 0+ x 0 x n x 0 nx n 1 xn lim 0. x 0 n
2. 型
1 1 00 步骤: . 0 0 00
例8 求 lim(
但却不易找到使 f ( x ) 0的点 但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.
例 1 ．不求函数 f(x)(x1)(x2)(x3) 的导数 , 判断 方程f (x)0有几个实根，以及其所在范围。 解：f(1)f(2)f(3)0，f(x)在[1, 2]，[2, 3]上满足 罗尔定理的三个条件。 在 (1, 2) 内至少存在一点 1，使 f (1)0，1是 f (x)=0的一个实根。 在(2, 3)内至少存在一点 2，使f (2)0，2也是 f (x)=0的一个实根。 f (x) =0是二次方程，只能有两个实根，分别在 区间(1, 2)及(2, 3)内。