组合图形的惯性矩

取平行于z轴的微面积 dA=bdy
Iz
y2dA
A
h/ 2 y2bdy bh3
h/2
12
(2) 计算惯性矩Iy
取平行于y
dA=hdz
Iy
z2dA
A
h/ 2 z2hdy hb3
h/2
12
表8.1列出了一些常用简单截面图形的几何性质。
图8.5
图8.6
A1=4a×2a=8a2
yC1=a
A2=-1/2πa2 yC2=4a/3π 由式（8.3 Sz=yCiAi=yC1A1+yC2A2
=8a2·a+(-1/2πa2) 4a/3π =1.98×105mm3
图8.3
惯性矩和惯性半径
◆ 惯性矩定义
如图8.4所示，在平面图形上取一微面积dA, dA与其坐标平方的乘积y2dA、z2dA分别称为 该微面积dA对z轴和y轴的惯性矩，它们在整 个图形范围内的定积分
表8.1 简单截面图形的几何性质
8.3 组合图形的惯性矩
8.3.1 惯性矩的平行移轴公式
如图8.7所示，任意平面图形的形心为C， 面积为A，zC轴和yC轴为图形的形心轴。y 轴平行于yC，两轴间的距离为b；z轴平行于
z平C面，I图两z 形轴对间A yz的12d距A离为Aa(。y根 据a)惯dA性矩的定义，
SZ
ydA
A
Sy
zdA
A
分别称为整个平面图形对z轴和y轴的惯性矩。
微面积dA与它到坐标原点的距离的平方的乘 积ρ2dA，在整个图形范围内的定积分
I p
2dA
A
称为平面图形对坐标原点的极惯性矩。由图
8.4
于是有
ρ2=z2+y2
Ip
平面图形的几何性质
本章提要
本章主要研究平面图形的静矩和惯性矩的 概念及计算、组合图形的静矩和惯性矩。
本章内容
静矩 惯性矩和惯性半径 组合图形的惯性矩
静矩
◆ 静矩
任意截面的图形如图8.1所示，其面积为A, Z轴 和y轴为图形平面内的任意直角坐标轴。
图8.1
取微面积dA， dA的坐标分别为y和z，则ydA、 zdA分别称为微面积dA对于z轴和y轴的静矩。 它们对整个平面图形面积的定积分
n
SZ yC1A1 yC2 A2 ... yCn An yCi Ai i 1
【例8.2】试计算图8.3所示截面对z轴和y轴的静 矩。已知a=30mm
【解】图示截面可看成是由矩形Ⅰ减去半圆Ⅱ。 设矩形Ⅰ的面积为A1，半圆Ⅱ的面积为A2。 由于A2 由于y轴是对称轴，通过截面形心，所以该 截面对y轴的静矩为零，即 Sy=0 下面计算该截面对z
【解】取平行z轴的微面积
dA 2 R2 y2 dy
Iz
y2dA 2 R y2
A
R
R2 y2 dy D4
64
由于对称，圆形截面对任一形心轴的惯性矩都 等于πD4/64。
【例8.4】图8.6所示的矩形截面，试计算对其形心轴的惯
性矩Iz、Iy 【解】（1） 计算惯性矩Iz
上图形的面积与两轴距离平方的乘积。
图8.7
组合图形的惯性矩
由惯性矩的定义可知，组合图形对某轴的惯性 矩就等于组成它的各简单图形对同一轴惯性矩 之和。
简单图形对本身形心轴的惯性矩可通过积分或 查表求得，再利用平行移轴公式，便可求得各 简单图形对组合图形的形心轴的惯性矩。
【例8.5】空心水泥板的截面图形如图8.8所示，试求它对z 轴和y

Sy=zCA Sz=yCA 即平面图形对某轴的静矩等于其面积与形心坐 标（形心至该轴的距离）的乘积。
【例8.1】试计算图8.2所示矩形截面对z轴和y轴 的静矩。
【解】矩形截面的面积A=bh，其形心坐标yC=h/2, zC=b/2。由式（8.2）有 Sz=yCA=h/2·bh=bh2/2 Sy=zCA=b/2·bh=b2h/2
【解】此组合图形对于z轴或y轴的惯性矩等于矩形Ⅰ对z轴 或y轴的惯性矩减去圆形Ⅱ和Ⅲ对z轴或y轴的惯性矩。 计算惯性矩Iz Iz=I1z-I2z-I3z=I1z-2I2z 圆形Ⅱ对本身形心轴zC的惯性矩I2zC I2zC=πd4/64 应用平行移轴公式I2z=I2zC+a2A=πd4/64+(h/4)2·πd2/4 矩形Ⅰ对z轴的惯性矩I1z I1z=bh3/12
SZ
ydA
A
(a)
Sy
zdA
A
分别称为整个平面图形对于z轴和y轴的静矩。
◆简单图形静矩的计算
在静力学的第３章中，已经导出平面图形的形
ydA
ห้องสมุดไป่ตู้
yC
A
A
zdA
zC
A
A
(8.1)
将公式(8.1)代入式(a)，平面图形的形心坐标 公式可写为
yC

SZ A
zC

Sy A
图8.2
◆ 组合图形静矩的计算
工程实际中，有些构件的截面是由矩形、圆形 等简单图形组合成，称为组合图形。
根据图形静矩的定义，组合图形对某轴的静矩 等于各个简单图形对同一轴静矩的代数和，即
n
S y zC1A1 zC2 A2 ... zCn An zCi Ai i 1
2dA
A
z2 y2 dA
A
z2dA
A
y2dA
A

Ip=Iy+Iz
上式表示：平面图形对于位于图形平面内某点
的任一对相互垂直坐标轴的惯性矩之和是一常
量，恒等于它对该点的极惯性矩。
图8.4
◆ 惯性半径
工程实际中，常将图形对某轴的惯性矩，表示 为图形面积与某一长度平方的乘积，即
IZ iz2 A Iy iy2A
式中iz、iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯 性半径，常用单位为米（m）或毫米（mm)。
由式（8.7）有，惯性半径
iz
IZ A
,iy

Iy A
◆ 简单图形的惯性矩
【例8.3】图8.5所示圆形截面的直径为D，试计算 它对形心轴（即直径轴）的惯性矩。
图8.8
y2dA 2a ydA a2 dA
A
A
A

IzC、SzC分别为图形对形心轴zC的惯性
矩和静矩。由于图形对形心轴的静矩恒等
于零，所以SzC=0

Iz=IzC+a2A

Iy=IyC+b2A
式(8.9)即为惯性矩的平行移轴公式。
它表明：平面图形对任意轴的惯性矩，等
于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩加