2016年贵州大学研究生应用数理统计考试题

1.线性规划及对偶问题（2选一） 1、两个引例

引例1. 环保排污问题

设某条河流上下游有两个化工厂，如图所示

化工厂1、2每小时排出污水分别为2万m 3、1.4万m 3，环保要求河水中污水含量不超过2‰，且化工厂1排入河流的污水到化工厂2有20%自然净化，两个化工厂处理污水的费用分别是1000元/万m 3、800元/万m 3，在满足环保的要求下，两个化工厂每小时应处理多少万m 3的污水，可使得总费用达最省？

解：（1）首先建立数学模型，

设两个化工厂每小时分别处理污水12,x x 万m 3，

12,x x 称为决策变量； 目标是使总费用达到最省，

即求最小值121000800MinZ x x =+，称之为目标函数，

.st ：1

2500x -≤21000

（近似模型）对化工厂1，11x ⇒≥，

211.40.8(2)2

5002001000

x x -+-≤

+121.60.80x x ⇒--≤，化工厂2，

12x ≤，2 1.4x ≤，且有： 1x ≥0，2x ≥0(非负约束) 称以上数学模型为线性规划问题，记为LP 问题。 （2）图解法求最优解（仅限于两个决策变量情形）

图中阴影部分围成可行区域D （本例由四条直线围成），且标出可行区域D 顶点的坐标。

目标函数等值线，令：121000800 Z x x c =+=⇒

215

4

x x c =-+，目标函数等值线的斜率540k =-<，过2、4象

限，并标出目标函数值减少方向，一簇相互平行的目标函数等值线既要在可行域D 内，又要目标函数值达到最小，最优解一定可在某一顶点处取得，（此结论可用于LP 问题的单

纯形算法），

本例最优处理污水化工厂1、2为：*1x =1,*2x =0.8(万m 3)，

最省费用Z *=MinZ =1000⨯1+800⨯0.8=1640元。

☆2、 生产的最优安排问题（综合题型）

某工厂在一个生产期内生产甲、乙两种产品，需,,A B C 三种资源，如表所示

如何组织生产，可使工厂获利最大？

（1） 建立数学模型

设在该生产时期分别生产甲、乙两种产品为12,x x 个单位，目标是使工厂获利最大，即：

求MaxZ =201x +302x

.st 12240x x +≤

12240x x +≤ 1225x x +≤

1x ≥0 2x ≥0

（2） 图解法求最优生产条件

k

等值线

=-3

2＜0 （k 为目标函数等值线的斜率）， 最优生产条件*1x =10, *

2x =15，

最大利润Z *

=20⨯10+30⨯15=650（单位）

（3）单纯形法，先化为标准形，求最大值

即求MaxZ =201x +302x 345000x x x +++

.st 1232 40x x x ++=

1242 40x x x ++= 125 25x x x ++=

j x ≥0 1,2,5j = 345,,x x x 为松弛变量

标准形约束条件35A ⨯中的3行及后3列组成3阶单位矩阵为基矩阵333B E ⨯=，对应的变量345,,x x x 为基变量，

单纯形表给出单纯形算法 ：

112345345325321

2030000040211000

401[2]010B 0

25

110012030000310200102211302010022110

5

001225001500

100011330150101120

10

1001

2

1010

j

B B j

j

j

C C X B b x x x x x x x x x x x x x x σσσ--⎡⎤-⎢⎥⎣⎦------为基矩阵

初始基本可行解为：

123450,0,40,40,25x x x x x =====，满足约束条件，

345,,x x x 为基变量

1m

j j i ij i c c a σ==-∑为检验数，j=1,2, n

当j σ≤0时可得最优解。 取k (0)j j Max σσσ=>2(20,30)30Max σ===

2x ⇒进基

取20)1

25,2

40,1

40(==Min i θ

4x ⇒出基

[2]为主元素作行初等变换，将其化为1,且1所在的列其余元素化为0。

150σ=>

1x ⇒进基

10)2

5

,220,220(

==Min l θ 5x ⇒出基

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡21为主元素，作迭代 ()4001301201100σ=-⨯-⨯-⨯-=-<， ()()5003301202100σ=-⨯--⨯--⨯=-<， 0,1,25j j σ≤= ，

最优解10*1=x ，15*

2

=x 650*=Z ， 生产最优安排例中

求MaxZ =201x +302x

.st 12240x x +≤，（A 资源约束）

12240x x +≤，（B 资源约束） 1225x x +≤ ，（C 资源约束） 1x ≥0 2x ≥0

最优生产条件*1x =10, *

2x =15，

最大利润Z *

=20⨯10+30⨯15=650。

单纯形法的检验数为：123450,0,0,10,10σσσσσ====-=-，

'

10m

j j i ij i c c a σ==-≤∑ 得最优解（第一个考试题与它有关）