组合数学作业.

作业1

1.设想一个监狱有64个囚室组成，这些囚室排列得象一张8X8的棋盘。所有相邻的囚室

之间都有门相通。一个被囚在某个角上囚室中的犯人被告知，如果他能够恰好通过每个囚室一次而到达对角位置上的囚室，他就将被释放。问：该犯人能否得到自由？

2.构造一个6阶幻方。

3.证明3阶幻方必然在中心位置有一个5。试推导：恰好存在8个3阶幻方。

4.各堆大小分别为22，19，14和11的4-堆Nim取子游戏是平衡的还是非平衡的？游戏

人I的第一次取子方式是从大小为19的堆中取走6枚硬币，游戏人II的第一次取子方式是什么？

5.一局游戏在两个游戏人之间如下交替进行：游戏从一空堆开始。当轮到一个游戏人时，

他可以往该堆中加进1，2，3或4枚硬币。往堆中加进第100枚硬币的游戏人为得胜者。

确定在这局游戏中是游戏人I还是游戏人II能够确保获胜。获胜的策略是什么？

作业2

1．证明：有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。

2．一个学生有37天用来准备考试。根据过去经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。她还希望每天至少学习1小时。证明，无论她如何安排学习时间（假设每天的学习时间都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。3．证明，从边长为2的正方形中任选5个点，它们当中存在2个点，这2点的距离至多为根号2。

4．有一个100人的聚会。每个人都有偶数个（可能是0个）熟人。证明，在这次聚会上存在3个人有相同个数的熟人。

5．确定一副牌中（52张）下列类型的一手牌（5张）的数目。

(1)full house（3张一样大小的牌及2张相同点数的另外的牌）

(2)顺牌（5张点数相连的牌）

(3)同花（5张一样花色的牌）

(4)同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）

(5)恰好两个对

(6)恰好一个对

6．15人围坐一个圆桌。如果B拒绝挨着A坐，有多少种围坐方式？如果B只拒绝坐在A 的右侧，又有多少种围坐方式？

7．给定8个车，其中5个红车，3个蓝车。

(1)将8个车放在8X8棋盘上，使没有两个车可以互相攻击的摆放方法有多少？

(2)将8个车放在12X12棋盘上，使没有两个车可以互相攻击的摆放方法有多少？

作业3

1.有20根完全相同的棍列成一行，占据20个位置。要从中选出6根。

(1)有多少种选择？

(2)如果所选出的棍中没有两根是相连的，那么又有多少种选择？

(3)如果在每一对所选的棍之间必须至少有两根棍，有多少种选择？

2.将10罐橘子汁、1罐柠檬汁和1罐酸橙汁分发给4位学生，并要求每位学生至少得到一

罐饮料，并且柠檬汁和酸橙汁要分给不同的学生，确定分发的方法数。

3. 证明{1,2,…,n}的排列的逆序的最大个数等于n(n-1)/2。确定具有n(n-1)/2个逆序的唯一

的排列。再确定所有那些具有n(n-1)/2-1个逆序的排列。

4. {1,2,...,n}的r 组合A 的补是{1,2,...,n}的(n-r)组合A ’，它由所有不属于A 的元素组成。令

M=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n 为{1,2,...,n}的r 组合的个数和(n-r)组合的个数。证明：如果A 1,A 2,...,A M 是字典序中的r 组合，那么A ’M ,..., A ’2,A ’1是字典序中(n-r)组合。

5. 用组合学推理证明恒等式⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1312113k n k n k n k n k n （提示：令S 是三个互异元素a,b,c 的集合，并计算S 的某些k 组合）

6. 通过对n 用归纳法证明，对n 是正整数，1||1)1(10<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∑∞=z z k k n Z k k n ，假设

1||110<=-∑∞=z z Z k k

成立

7. 用牛顿二项式定理近似计算30。

8. 现有6个巧克力的面包圈，6个肉桂的面包圈和3个素的面包圈，要配成含12个面包圈

的盒装，问有几种装法？

9. 在一次聚会上，7位男士将他们的帽子上交检查。有多少种方法使得这些帽子被返还时

分别满足下列条件？

(1) 没有男士收到他自己的帽子；

(2) 至少有一位男士收到他自己的帽子；

(3) 至少有两位男士收到他们自己的帽子。

10. 证明Dn 是偶数当且仅当n 是奇数。

作业4

1． 确定方程x1+x2+x3+x4=20满足1≤x1≤6, 0≤x2≤7, 4≤x3≤8, 2≤x4≤6的整数解个

数。

2． 把6个非攻击型车放到具有下图所示禁止位置的6X6棋盘上的方法数是多少？

3． 用红、白和蓝色对1Xn 棋盘方格涂色。设hn 是没有两个涂成红色的方格相邻的着色方

法数。求出hn 所满足的递推关系，然后找出hn 的公式。

4． 求解非齐次递推关系h n =6h n-1-9h n-2+2n h 0=1,h 1=0

5． 在同一平面上画一个圆及n 条直线，每条直线均与其他直线在圆内相交。若没有三条以

上直线共点的情形，则这些直线将圆的内部分成几块区域？

6． 利用生成函数求解下列递推关系：

(1) h n =4h n-2, h 0=0,h 1=1

(2) h n =h n-1+9h n-2-9h n-3, h 0=0,h 1=1,h 2=2

7． 由0，1，2，3组成的长度为n 的序列中，含偶数个0的序列个数记为hn ，求hn 的递推

关系。

作业5

1． 令hn 表示用红、白、蓝和绿色以下述方式给1Xn 棋盘上方格涂色的方法数，其中涂成

红色的方格数为偶数，涂成白色的方格数为奇数。确定序列h0,h1,...,hn,...的指数生成函数，并求出hn 。

2． 由字母a,b.c,d,e 组成的总字母数为n 的单词中，要求a 与b 的个数之和为偶数，问这样

的单词有多少个？

3． 在圆上选择2n 个等间隔的点。证明将这些点成对连接起来使得所得到的n 条线段不相

交的方法数等于第n 个Catalan 数。

4． 序列的一般项hn 是n 的一个3次多项式。如果其差分表的第0行的前4个数是1，-1，

3，10，确定hn ，并计算∑=n

k k h 0的公式。

5． 试证明序列,...,...,,10n h h h 的下列k 阶差分的公式为∑=+-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=∆k j j n j k n k

h j k h 0)1( 6． 证明第二类stirling 数满足下列关系

（1）212)2,(1≥-=-n n S n

（2）12)1,(≥⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-n n n n S

作业6

1． 确定下列每个分拆的共轭分拆

(1) 12=5+4+2+1

(2) 15=6+4+3+1+1

2． 4X5的棋盘，其禁止位置如图所示。

(1) 找出非攻击型车的最多个数，请给出一实例；

(2)