无穷限反常积分

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§10.1 无穷限反常积分
这时, 也称广义积分 f (x)dx 收敛;
否则就称广义积分 f (x)dx 发散.
上述三种广义积分统称为: 无穷限的广义积分（无穷积分）.
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§10.1 无穷限反常积分
例1：计算广义积分
1
dx x
把
lim F
b
(
x)ba
记作F
(
x)a
.
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§10.1 无穷限反常积分
上述过程可以简化为：
+ dx
- 1 x2
[arctan x]
2
( )
2
其中[arctan x] 应理解为：
lim arctan x lim arctan x
x
x
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§10.1 无穷限反常积分
(2)
b 1
1
1
x4 dx 3x3
b 1
1 3
1 3
b3
lim (1 3 b
1 3b3
)
1 3
1 lim 3 b
1 b3
1 3
故
1
1 x4
dx收敛，且
1
1 x4
dx
1 3
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§10.1 无穷限反常积分
第十§章10.1反无常穷限积反分常(积广分义积分)
10.1 无穷限的反常积分 ([积分区间无限]无穷积分)
10.2无界函数的反常积分 ([被积函数无界]瑕积分)
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§10.1 无穷限反常积分
引例
一、无穷积分的概念 二、无穷积分的性质 三、 无穷积分与数项级数的关系 四、 无穷积分收敛性判别法
(3)
b
xb0
y 1
y
1 1 x2
lim arctan b
b2
o
b
x
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§10.1 无穷限反常积分
类似地, 设函数 f (x)在区间(, b]上连续, 取a < b,
如果极限 lim b f (x)dx 存在, 则称此极限为函数
a a
b
f (x)在无穷区间(, b]上广义积分, 记作 f (x)dx
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§10.1 无穷限反常积分
引例：
问题：求曲线y
1 x2
,
x轴及直线x
1，y
右边所围成的“开口
y
1 x2
曲边梯形”的面积。
01
解： 由于这个图形不是封闭的曲边梯 形,而在x轴的正方 向是开口的，
bx
即这是积分区间为[1，+∞）的积分。
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0
f (x)dx 和
f (x)dx
0
都收敛, 则称上述两个广义积分之和为函数
f (x)在区间(, +)上广义积分.
记作
f (x)dx
即
0
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
0
(3)
0
b
lim f (x)dx lim f (x)dx
a a
b 0
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§10.1 无穷限反常积分
一、无穷积分的概念.
定义: 设函数 f (x)在区间[a, +)上连续, 任取b > a,
如果极限 lim b f（x）dx 存在, b a
则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +)上
的广义积分, 记作 f (x)dx, 即 a
b
f (x)dx lim f (x)dx (1)
a
b a
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§10.1 无穷限反常积分
这时也称广义积分 f (x)dx 收敛; a
若上述极限不存在, 就称广义积分 f (x)dx发散,
这时记号
f
a
( x)dx 不再表示数值了。
a
1
例如：
0
1 x2
dx lim b
b 0
1
1 x
2
dx
lim arctan
2
.
解： dx
1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
lim a
01 a1 x2
dx
lim
b
b1 0 1 x2
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dx
lim arctan
a
x0a
lim arctan
b
xb0
y
y
1
1 x
2
lim arctan a lim arctan b
a
b
(
2
)
2
ao b x
注:
为方便起见,
x1 p
1 pa
,
a1 p p 1
,
p 1 p 1
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§10.1 无穷限反常积分
类似于p级数
所以广义积分 dx
当p 1时收敛, 其值a 为xap1p p1.
当p 1时发散. 结论
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§10.1 无穷限反常积分
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§10.1 无穷限反常积分
故b 1,则曲边梯形A的面积为
b 1
1 x2 dx
[
1 x
]1b
1
1 b
显然当b改变时，
曲边梯形的面积也随之改变，
故b 时，
即 lim b
b 1
1 x2
dx
lim [
b
1 x
]1b
=
lim (1
b
1 b
)
1
则所求曲边梯形的面积为1.
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§10.1 无穷限反常积分
例2 : 计算广义积分 te ptdt ( p是常数,且p 0). 0
加
解: te pt dt lim b te pt dt
0
b 0
lim
b
t p
e
pt
b 0
1 p
b
e
pt
dt
0
t p
e pt
0
1 p2
e pt
0
1 p
lim te pt
t
0
1 p2
(0
1)
1 p2
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§10.1 无穷限反常积分
例3 :
证明广义积分
a
dx xp
(a 0).
当p 1时收敛, 当p 1时发散.
证: 当 p = 1时
a
dx xp
a
dx x
ln
x
a
当
p
1时
1 a xp
dx
练习1.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值.
(1)
e
0
x
dx
(2)
1
1 x4
dx
(3)
1
1 dx x
解： (1)Q
b0exdx ex
b 0
1 eb
lim (1 eb ) 1 lim 1 1
b
e b+ b
故
0
e
xdx收敛，且
0
e
xdx
1
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b
b
即
f (x)dx lim f (x)dx (2)
a a
这时也称广义积分 b f (x)dx 收敛;
若上述极限不存在, 就称广义积分 b f (x)dx 发散.
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§10.1 无穷限反常积分
设函数 f (x)在区间(, +)上连续,
如果广义积分