2019最新高中数学 第二章 数列 阶段复习课 第2课 数列学案5
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a与b的等差中项，且A＝
S n ＝＝na
1
＋
2
a
1
－q n
＝
a
1
－a
n
q
等差、等比数列的性质项目
第二课数列
[核心速填]
等差数列等比数列
通项公式
a
n
＝a
1
＋(n－1)d
a
n
＝a
m
＋(n－m)d
a
n
＝a
1
q n－1
a
n
＝a
m
q n－m 若三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做
中项a＋b
2若三个数a，G，b成等比数列，这时G叫做a与b的等比中项，
且G＝±ab
q≠1时，
前n项和公式n a
1
＋a
n
n n－
2
d
S
n
＝
1
－q
1－q
性
q＝1时，S
n
＝na
1下标性质
m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q
a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
a
m
·a
n
＝a
p
·a
q
S
m
，
质S
2m －S
m
，
S 3m －S
2m
…
成等差数列成等比数列
[体系构建]
⎪⎩b
1＋4d ＝32， ⎧⎪b 1＝－16， a ⎩
[题型探究]
等差(比)数列的基本运算
等比数列{a n }中，已知 a 1＝2，a 4＝16.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若 a 3， 5 分别为等差数列{b n }的第 3 项和第 5 项，试求数列{b n }的通项公式及前 n 项和 S n . [解] (1)设{a n }的公比为 q ， 由已知得 16＝2q 3，
解得 q ＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n . (2)由(1)得 a 3＝8，a 5＝32， 则 b 3＝8，b 5＝32.
⎧⎪b 1＋2d ＝8，
设{b n }的公差为 d ，则有⎨
解得⎨
⎪d ＝12，
所以 b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.
∴a n ＝⎨
∴ a n ＋1 4 ＝ ，又 a 2＝ S 1＝ a 1＝ .
1
1 1
1
⎩ 所以数列{b n }的前 n 项和
n －16＋12n － S n ＝
2
＝6n 2－22n .
[规律方法]
在等差数列和等比数列的通项公式 a n 与前 n 项和公式 S n 中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，d
或 q ，S n ，其中 a 1 和 d 或 q 为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于 a 1，d q ，
a n ，S n ，n 的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差 比
数列的性
质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.
[跟踪训练]
1．已知等差数列{a n }的公差 d ＝1，前 n 项和为 S n . (1)若 1，a 1，a 3 成等比数列，求 a 1； (2)若 S 5>a 1a 9，求 a 1 的取值范围.
【导学号：91432240】
[解] (1)因为数列{a n }的公差 d ＝1，且 1，a 1，a 3 成等比数列，所以 a 2＝1×(a 1＋2)， 即 a 2－a 1－2＝0，解得 a 1＝－1 或 a 1＝2.
(2)因为数列{a n }的公差 d ＝1，且 S 5>a 1a 9， 所以 5a 1＋10>a 2＋8a 1，