数学建模传染病模型

与s(t)，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康复的
假设及可（得竞：争象无模模项病，法型型），且解预2统与当仍释测计ii为确人dd实((时t有ito医最)筹)了，群多际间不生终k算s使有细房ii情(os趋足t们所律)模必分室况与之发有，型要，系n不无处现人更再建统符1穷，的都精将立。时它现得， （3.16）
u
eu eu
eu eu
tanh1
1 m
So
1
而： d
du
tanh u
(eu
eu )2 (eu eu )2 (eu eu )2
(eu
4 eu )2
对r(t)求导 ：
dr dt
lm2 2
2So
sec h2
1 2
mlt
（3.21）
曲线
dr dt
lm2 2
2So
sec h2
1 2
1 r(t)
s(t) soe
由(1)式可得： di ds li ds ds
不如伴如难从积果随验果证而分地ssoo，解得有当得：st→(，，t：+)单∞则则时减开有，d。i始ddr(ti(tti(t)t当)时)趋0si向oid(，ddott于ti)减s此一soo0少个疾，ss(到t(病i)t()dt小在)t单于l该nl增nss等地ss(dso。t(ot)t于区) 但根在时本（i(3，流t.)1增9行i）(加t不)s开的u起s始c同e来p减t时i。b小l，e ，
mlt
在医学上被称为疾病传染曲线。
图3-14（a）给出了（3.21）式曲线的图形，可用医疗单位
每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。
图3-14（b）记录了1905年下半年至1906年上半年印度孟买瘟 疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性。
图3-14（a）
s(t) i(t) r(t) n 1 (3)
i(o) io , r(o) 0
susceptible
k
infective
l
求解过程如下：
recovered
对（3）式求导，由（1）、（2）得： ds ksi k s dr
解得：
k r(t)
dt
l dt
s(t) soe l
记： l
k
则：
常直数至，从此而疾可病以解在释该医地生们s区(t发)消现s失的oe现。1 象r (t )。
k
鉴于在本模型中的r作(t)用 n，1被 i(t) s(t)
infective
医为生揭们示称产为生此上疾述病现在象该的地原区因（3.18）中
的 较第大其的么的（的中阀此所常1值疾有）数。 病 人式通。没。改常kl的有写是引波成一入及：个解到与dd释ti该疾了地k病为i(区种s什类 )有关的
解得： 其中：
i(t)
co
n
co (n 1)ek(n1)t
1 io
coek
(n1)t
1 io
（3.17）
统计结果显示，(3.17)预报结果比(3.15)更
接近实际情况。医学上称曲线 为t ~传d此i 染值与病传曲染病的实际高峰期非常
线，并称 峰。
最ddti大值时刻t1为此传染病的d接t 流近，行可高用作医学上的预报公式。
（3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。
模型检验：
医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广义上理
解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模
型并无影响。
注意到：dr li (n 1 r s)
dt
可得：
dr dt
l(n 1 r
r
soe
)
及：S
r
Soe l
（3.20）
通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太
l
recovered
下面对 进行讨论，请参见右图
图3-14
综上所述，模型3指出了传染病的以下特征：
（1）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流 传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。
（2）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为 缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。
令：
d 2i dt 2
0
得：
t1
ln co k(n 1)
模型3
将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染 者和已恢复者（recovered）。分别记t时刻的三类人数为 s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型：
di
dt
ksi
li
l
称为传染病恢(1)复系数
dr
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dt
li
(2)
（3.18）
大，故 一r般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：
r
e
1
r
1(r
)2
2
代入（3.20）得近似方程：
dr dt
l
n
1
So
So
1 r
So 2
r
2
积分得：
r(t)
2
So
So
1
m
tanh( 1 2
mlt
)
其中：
1
m
So
2 1
2So
(n
1
So
)
2
这里双曲正切函数 ：
tanh
传染病模型
传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素 之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律 并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。 在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的 流行，并建立起相应的多房室模型。
问题的提出：
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时， 波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会 得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会 相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
模型1 设某地区共有n+1人，最初时刻共有i人得病，t时刻已
感染（infective）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位 时间内将疾病传播给k个人（k称为该疾病的传染强度），且 设此疾病既不导致死亡也不会康复
则可导出：
di
dt
ki
i(o) io
故可得： i(t) ioekt
（3.15）
此模型即Malthus模型，它大体上反映了传染病流行初期的 病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推 移，将越来越偏离实际情况。
已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人 群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则 不加任何区分，来建立两房室系统。
模型2 记t时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别为i(t)