恒成立问题与有解问题的区别
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恒成立问题与有解问题的区别
恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的试题中，越来越受到命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。
1、恒成立问题
恒成立问题与一次函数联系
给定一次函数y =f (x )=ax +b (a ≠0)，若y =f (x )在[m ，n ]内恒有f (x )>0，则根据函数的图象（直线)可得上述结论等价于
ⅰ)⎩⎨⎧
a >0f (m )>0 或ⅱ)⎩⎨⎧a <0f (n )>0 ，亦可合并定成⎩⎨⎧f (m )>0f (n )>0 ， 同理，若在[m ，n ]内恒有f (x )<0，则有⎩⎨⎧f (m )<0
f (n )<0
【例1】 对于满足|p |≤2的所有实数p ，求使不等式x 2+px +1>2p +x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P ，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
解：不等式即(x -1)p +x 2-2x +1>0，设f (p )= (x -1)p +x 2-2x +1，则f (p )在[-2，2]上恒大于0，
故有：⎩⎨⎧f (－2)>0f (2)>0 即⎩⎨⎧x 2
－4x +3>0x 2－1>0 ，解得：⎩⎨⎧x >3或x <1x >1或x <－1 ∴x <-1或x >3.
恒成立问题与二次函数联系
若二次函数y =ax 2+bx +c =0(a ≠0)大于0恒成立，则有⎩
⎨⎧a >0△<0 ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
【例2】 设f (x )=x 2-2ax +2，当x ∈[-1，+∞)时，都有f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围。
分析：题目中要证明f (x )≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1，+∞)时恒大于0的问题。
解：设F (x )= f (x )-a =x 2-2ax +2-a .
ⅰ)当△=4(a -1)(a +2)<0时，即-2 ⅱ)当△=4(a -1)(a +2)≥0时，则由图可得：⎩⎪⎨⎪⎧△≥0 f (－1)≥0－－2a 2≤－1即⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)(a +2)≥0 a +3≥0a ≤－1 ，得-3≤a ≤-2 综合可得a 的取值范围为[-3，1]。 【例3】 设f (x )=x 2－2ax +2，当x ∈[－1，+∞)时，都有f (x ) ≥a 恒成立，求a 的取值范围。 分析：题目中要证明f (x )≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边， 则把原题转化成左边二次函数在区间[－1，+∞)时恒大于0的问题。 解：设F (x )=f (x )－a =x 2－2ax +2－a ① 当a ≤－1时，F (x )在[－1，+∞)上单调递增，只需F (－ 1)≥0，即1+2a +2－a ≥0 ∴－3≤a ≤－1 ②当a >－1时，F (x )在[－1，a ]上单调递减，在[a ，+∞)上单调递增 只需F (a )≥0，即a 2－2a 2+2－a ≥0，得－2≤a ≤1; 综合可得a 的取值范围为[－3，1]。 恒成立问题与变量分离联系 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 【例4】 已知当x ∈R 时，不等式a +cos 2x <5-4sinx +a 2恒成立，求实数a 的取值范围。 分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R )，另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。