高一数学必修4同步练习：3-1-2-2两角和与差的正切

10．在△ABC 中，若 tanB＝ ( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 [答案] B
[解析] 因为△ABC 中，A＋B＋C＝π， 所以 tanB＝ ＝ cosC－B sinA＋sinC－B
cosCcosB＋sinCsinB cosCcosB＋sinCsinB ＝ ， 2cosBsinC sinB＋C＋sinC－B
3-1-2-2 两角和与差的正切 一、选择题 π 1 1 1．若 α、β∈(0，2)且 tanα＝2，tanβ＝3，则 tan(α－β)( 1 A．－7 1 C.7 [答案] C 1 1 2－3 tanα－tanβ 1 [解析] tan(α－β)＝ ＝ ＝ 1 1 7. 1＋tanαtanβ 1＋2×3 2 1 2．tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝4，则 tan2α＝( 1 A.6 3 C.22 [答案] D [ 解析 ] 2 1 5＋4 13 ＝ 2 1 18. 1－5×4 π 3 π 3．已知 α∈(2，π)，sinα＝5，则 tan(α＋4)的值等于( A．－7 1 C．－7 [答案] D B．7 1 D.7 ) tan2α ＝ tan[(α ＋ β) ＋ (α － β)] ＝ tanα＋β＋tanα－β ＝ 1－tanα＋βtanα－β 22 B.13 13 D.18 ) B．1 1 D.5 )
即 tan(A＋B)＝－ 3，又 0<A＋B<π， 2π π ∴A＋B＝ 3 ，∴C＝π－A－B＝3. 16．已知 tanα、tanβ 是方程 x2－3x－3＝0 的两根，试求 sin2(α＋ β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值． [分析] 利用根与系数的关系以及两角和与差的正切公式． [解析]
π π π π [分析] 利用 tan(6＋6)＝tan[(6－θ)＋(6＋θ)]展开． [答案] A π π π [解析] ∵tan3＝tan(6＋6)
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π π ＝tan[(6－θ)＋(6＋θ)] π π tan6－θ＋tan6＋θ π π 1－tan6－θ· tan6＋θ π π tan6－θ＋tan6＋θ π π 1－tan6－θ· tan6＋θ
α 因此 tan2，tanβ 可以看成是方程 x2－(3－ 3)x＋2－ 3＝0 的两 个根．解得：x1＝1，x2＝2－ 3. α π 若 tan2＝1，则 α＝2，这与 α 为锐角矛盾． α 所以 tan2＝2－ 3，tanβ＝1，所以 α＝30° ，β＝45° . 所以满足条件的 α、β 存在，且 α＝30° ，β＝45° .
cosB＋sinCsinB sinB cosC· 即cosB＝ ，∴cos(B＋C)＝0， 2cosBsinC π ∴cos(π－A)＝0，∴cosA＝0，∵0<A<π，∴A＝2， ∴这个三角形为直角三角形，故选 B. 二、填空题 11．若 tanα＝2，tan(β－α)＝3，则 tan(β－2α)的值为________． 1 [答案] 7
tanα＋tanβ＝3 由已知得 tanα· tanβ＝－3
由 tan(α＋β)＝
tanα＋tanβ 3 3 ＝ ＝4. 1－tanαtanβ 1－－3
∴sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β) sin2α＋β－3sinα＋βcosα＋β－3cos2α＋β ＝ sin2α＋β＋cos2α＋β tan2α＋β－3tanα＋β－3 ＝ tan2α＋β＋1 3 3 42－3×4－3 3 42＋1
＝
∴ 3＝
π π 即 tan(6－θ)＋tan(6＋θ) π π ＝ 3－ 3tan(6－θ)· tan(6＋θ)， π π π π ∴tan(6－θ)＋tan(6＋θ)＋ 3tan(6－θ)· tan(6＋θ)＝ 3. sin6° ＋cos15° · sin9° 8. 的值为( cos6° －sin15° · sin9° A．2＋ 3 C．2－ 3 [答案] C [解析] sin6° ＝sin(15° －9° )＝sin15° cos9° －cos15° sin9° ， cos6° ＝cos(15° －9° )＝cos15° cos9° ＋sin15° sin9° ， ∴原式＝tan15° ＝tan(45° －30° )＝ 1－tan30° ＝2－ 3，故选 C. 1＋tan30° ) 2＋ 3 B. 2 2－ 3 D. 2
4 1 9．已知 α、β 为锐角，cosα＝5，tan(α－β)＝－3，则 tanβ 的值为 ( ) 1 A.3 13 B. 9
13 C.15 [答案] B
5 D.9
4 3 3 [解析] ∵α 是锐角，cosα＝5，故 sinα＝5，tanα＝4 ∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝ tanα－tanα－β 13 ＝ . 1＋tanα· tanα－β 9 cosC－B ，则这个三角形是 sinA＋sinC－B

π 1 ∴sinA－6＝2.

π π 5π ∵0<A<π，∴－6<A－6< 6 . π π π ∴A－6＝6，即 A＝3. π tanB＋1 (2)由 tanB＋4＝ ＝－3， 1－tanB 解得 tanB＝2. π 又 A＝3，∴tanA＝ 3. ∴tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B) tanA＋tanB ＝－ 1－tanAtanB 2＋ 3 8＋5 3 ＝－ ＝ 11 . 1－2 3 2π α 18． 是否存在锐角 α、 β， 使得(1)α＋2β＝ 3 ， (2)tan2· tanβ＝2－ 3 同时成立？若存在，求出锐角 α、β 的值；若不存在，说明理由． 2π α [解析] 假设存在锐角 α、β，使得(1)α＋2β＝ 3 ，(2)tan2· tanβ＝2 － 3同时成立． α π 由(1)得2＋β＝3， α tan2＋tanβ α 所以 tan2＋β＝ ＝ 3. α 1－tan2tanβ α α 又 tan2tanβ＝2－ 3，所以 tan2＋tanβ＝3－ 3.
＝
＝－3.
17．已知 A，B，C 是△ABC 的三内角，向量 m＝(－1， 3)，n ＝(cosA，sinA)，且 m· n＝1. (1)求角 A；
π (2)若 tan4＋B＝－3，求 tanC.
[解析] ∵(1)m· n＝1， ∴(－1， 3)· (cosA，sinA)＝1， π 即 3sinA－cosA＝1,2sinA－6＝1.
tanB＋tanC tanC>0，∴tan(B＋C)＝ >0. 1－tanB· tanC ∴B＋C 为锐角，从而 A 为钝角． 5． 化简 tan10° tan20° ＋tan20° tan60° ＋tan60° tan10° 的值等于( A．1 C．tan10° [答案] A [解析] ∵tan(20° ＋10° )＝ tan20° ＋tan10° ， 1－tan20° · tan10° B．2 D. 3tan20° )
∴tan20° ＋tan10° ＝tan30° (1－tan20° tan10° )， ∴原式＝tan10° tan20° ＋ 3tan30° (1－tan20° · tan10° ) ＝tan10° · tan20° ＋1－tan20° · tan10° ＝1.
π π 6．已知 tanα，tanβ 是方程 x2＋3 3x＋4＝0 的两根，且－2<α<2， π π －2<β<2，则 α＋β 的值为( π A.3 π 2π C.3或－ 3 [答案] B [解析] 由韦达定理得 tanα＋tanβ＝－3 3，tanα· tanβ＝4， ∴tanα<0，tanβ<0， ∴tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ －3 3 ＝ ＝ 3 1－tanαtanβ 1－4 ) 2π B．－ 3 π 2π D．－3或 3
[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝ tanβ－α－tanα 3－2 1 ＝ ＝7. 1＋tanβ－α· tanα 1＋3×2
3－tan18° 12．化简 ＝________. 1＋ 3tan18° [答案] tan42° tan60° －tan18° [解析] 原式＝ ＝tan(60° －18° )＝tan42° . 1＋tan60° · tan18° α＋β β 1 α 1 13．已知 tanα－2＝2，tanβ－2＝－3，则 tan 2 ＝________. 1 [答案] 7 α＋β β α [解析] tan 2 ＝tanα－2＋β－2 1 1 － 2＋ 3 1 ＝ ＝ . 1 1 7 1－2×－3 14．不查表求值：tan15° ＋tan30° ＋tan15° tan30° ＝______. [答案] 1 [解析] tan15° ＋tan30° ＋tan15° tan30° ＝tan(15° ＋30° )(1－tan15° tan30° )＋tan15° tan30° ＝tan45° (1－tan15° tan30° )＋tan15° tan30° ＝1－tan15° tan30° ＋tan15° tan30° ＝1. 三、解答题 15．(2011～2012· 学军高一检测)已知△ABC 中， 3tanAtanB－ tanA－tanB＝ 3.求 C 的大小． tanA＋tanB [解析] 依题意： ＝－ 3， 1－tanAtanB
π π π π 又－2<α<2，－2<β<2，且 tanα<0，tanβ<0 2π ∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－ 3 . π π π 7．(2011～2012· 长春高一检测)tan(6－θ)＋tan(6＋θ)＋ 3tan(6－ π θ)tan(6＋θ)的值是( A. 3 C．2 3 ) 3 B. 3 2 3 D. 3
π 3 [解析] ∵α∈(2，π)，sinα＝5， 4 3 ∴cosα＝－5，∴tanα＝－4， 3 1－4 π 1＋tanα 1 ∴tan(α＋4)＝ ＝ 3＝7. 1－tanα 1＋4 4．在△ABC 中，若 0<tanBtanC<1，则△ABC 是( A．锐角三角形 C．直角三角形 [答案] B [解析] ∵0<tanBtanC<1，∴B，C 均为锐角， sinBsinC ∴cosBcosC<1，∴cos(B＋C)>0， ∴cosA<0，∴A 为钝角． [ 点评 ] 也可用两角和的正切公式判断：由条件知， tanB>0 ， B．钝角三角形 D．形状不能确定 )