随机变量函数的概率分布

§2.4 随机变量函数的概率分布

1.随机变量函数的概念：设是已知连续函数，为随机变量，则函数也是一个随机变量，称之为随机变量的函数.

2.离散型随机变量的概率分布

设离散型随机变量的分布律为

则在随机变量的取值,，不同的情况下，其分布律为

但是，若有相同的情况，则需要合并为一项.

故Y的分布律为

有时我们只求Y=g（X）在某一点y处取值的概率，有，

即把满足的所对应的概率相加即可。

3.连续型随机变量函数的概率密度

定理：设为连续型随机变量，其密度函数为 .设是严格单调的可导函数，其值域为，且.记的反函数，则的概率密度为

.

证明：略

解：利用例2-27所得的结论，f x（x）＝

（1）,则

（2）·

即.

例2-28说明两个重要结论：当时，,且随机变量称为X的标准化。

另外，正态随机变量的线性变换仍是正态随机变量，即aX+b～，这两个结论十分有用，必须记住。

第二章小结一、内容分布律

二、试题选讲

1.（1016）抛一枚硬币5次，记正面向上的次数为，则＝____________. 【答疑编号：12020308针对该题提问】

答案：

2.（0404）设随机变量的概率密度为则＝（）.

A.

B.

C.

D. 1

【答疑编号：12020309针对该题提问】

答案：A

3.（1004）设随机变量的概率密度为则常数等于（）.

A. －1

B.

C.

D. 1

【答疑编号：12020310针对该题提问】

答案：D

4.（1003）设随机变量在区间[2，4]上服从均匀分布，则＝（）.

A. B. C. D.

【答疑编号：12020311针对该题提问】

答案：C

5.（1015）设随机变量，已知标准正态分布数值，为使，则常数___________.

【答疑编号：12020312针对该题提问】

答案：3

6.（0704）设每次试验成功的概率为，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（）.

A.

B.

C.

D.

【答疑编号：12020313针对该题提问】

答案：A

7.（0715）已知随机变量，且，则___________.

【答疑编号：12020314针对该题提问】

答案：5

8.（0716）设随机变量的分布函数为，则常数____________. 【答疑编号：12020315针对该题提问】

答案：1

9.（0727）设随机变量服从参数为3的指数分布，试求：（1）的概率密度；

【答疑编号：12020316针对该题提问】

（2） .

【答疑编号：12020317针对该题提问】

解：

10.（1028）司机通过某高速路收费站等候的时间（单位：分钟）服从参数为的指数分布，

（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率；

【答疑编号：12020318针对该题提问】

（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用表示等候时间超过10分钟的次数，写出的分布律，并求 .

【答疑编号：12020319针对该题提问】

解：