绝对值不等式的解法
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2x a 1, 若a<1,则 f (x) 1 a, 2x a 1 , 2x a 1, 若a>1,则 f (x) a 1, 2x a 1 , x a， a x 1, ⇒f(x)的最小值为1-a. x 1 x 1， 1 x a ⇒f(x)的最小值为a-1. x a，
【规范解答】含参数的绝对值不等式的解法
【规范解答】因为a∈R,故分以下两种情况讨论： (1)当a+1≤0①, 即a≤-1时， 原不等式无解， 即不等式的解集为∅.„„„„„„„„„„„„„„„„4分
(2)当a+1>0, 即a>-1时，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 原不等式可变为-a-1<2x+3<a+1.„„„„„„„„„„„8分
求它的解集.
探究提示： 1.题1中可采用不等式两边同时平方的方式去掉绝对值符号 . 2.解决题2的关键是理解绝对值的几何意义. 【解析】 1.|x－1|＞|x－2|⇔(x－1)2＞(x－2)2
3 x －2x 1＞x －4x 4 2x＞ 3 x＞ , 2 所以原不等式的解集为 {x | x＞3}. 2 3 答案： ( ， ) 2
每当人们去求解任何一道数学问题，
或力图攀登一个数学高峰，都被誉为摘 取科学皇冠上的明珠!
徐 安 福
2．绝对值不等式的解法
1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集. 不等式 |x|<a |x|>a a>0 a=0 ∅ __ a<0 ∅ __ R __
{x|-a＜x＜a} ___________
【典型例题】
1.不等式｜2x-3｜＜3x+1的解集是_____.
2.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|,如果对任意x∈R,f(x)≥2,则a的 取值范围是_______. 3.解不等式：|x2－3|＜2x.
【解析】1.|2x-3|<3x+1,由题意知3x+1>0,原不等式转化为 -(3x+1)<2x-3<3x+1. 以上不等式等价于
3
解含绝对值不等式的核心任务 解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等 变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题 方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.
类型 一简单绝对值不等式的解法 1.不等式 | x－2 | 1 的解集是_____.
2 1 【解析】1. | x－2 | 1 x－4 2 2 x－4 2, 2 1 2
2
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于 3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大 于 3， 所以原不等式的解集是 (, 3 ] [ 3 , ).
2 2
方法二：当x≤-1时,原不等式可以化为 -(x+1)-(x-1)≥3,解得 x 3 .
1.不等式|x－1|＜2的解集是_____. 【解析】由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3. 答案：(－1,3) 2.不等式|4－3x|≥2的解集是_____. 【解析】|4－3x|≥2⇔|3x－4|≥2⇔3x－4≤－2 或3x－4≥2，解得 x 2 或x≥2.
3
答案：(, 2 ) [2, )
所以 a 4 x a 2 . „„„„„„„„„„„„„„„10分
综上可知，当a>-1时，原不等式的解集为( a 4 , a 2 );
2 2 2 2
②
当a≤-1时，原不等式的解集为∅. „„„„„„„„„12分
【防范措施】 含参数的绝对值不等式 解含参数的绝对值不等式的题型，容易忽略对参数的符号进 行讨论，如本例需对a+1的符号进行讨论，否则易导致错误结 果.
a a 0 ， 即a a a 0 .
(ⅱ)根据公式：|x|<a⇔-a<x<a(a∈R且a>0); ｜f(x)｜<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x); |x|>a⇔x>a或x<-a(a∈R且a≥0); ｜f(x)｜>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x). (ⅲ)根据|a|2=a2(a∈R)，若不等式两边非负,可在不等式两边 同时平方,如｜f(x)｜≤｜g(x)｜⇔f2(x)≤g2(x).
2
当-1＜x＜1时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.当x≥1时,原不等式可以 化为x+1+x-1≥3.所以 x 3 .
2
综上,可知原不等式的解集为 {x | x 3 或x 3}.
2 2
方法三：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法. (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想, 理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号 正、负 性，进而去掉绝对值符号. 内多项式的_______ (3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程 零点 并画出函数图象(有时需要考查 的思想.正确求出函数的_____ 函数的增减性)是关键.
{x|x ＞a或x＜-a} ___________ {x∈R|x≠0} ______________
2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法. -c≤ax+b≤c (1)|ax+b|≤c⇔____________. ax+b≥c或ax+b≤-c (2)|ax+b|≥c⇔__________________.
类型 二含多个绝对值不等式的解法 【典型例题】 1.不等式|x－1|＞|x－2|的解集为______. 2.不等式|x+1|+|x-1|≥3的解集为______. 【解题探究】 1.题1中如何去掉绝对值号？ 2.解决题2的关键是什么？
wenku.baidu.com
【变式练习】若将题1中的不等式改为 x－ 1＞ ( 2－x ) 2 ,
【互动探究】若将题1中的不等式改为 x－ 1＞ ( 2－x ) 2 , 求它的解集.
2 【解析】x－ 1＞ ( 2－x ) 2 (x－ 1) 2＞ 2－x
3 x 2－2x 1＞x 2－4x 4 2x＞ 3 x＞ , 2
又2－x≥0，所以x≤2. 所以原不等式的解集为 {x | 3 ＜x 2}.
2．不等式 |1 x 1 x 2 | ＜ 1 的解集为______.
解得2≤x≤6. 答案： ［2,6］
【拓展提升】绝对值不等式的常见类型及其解法 (1)形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式. 此类不等式的简单解法是等价转化法，即 ①当a>0时，|f(x)|<a⇒-a<f(x)<a. |f(x)|>a⇔f(x)>a或f(x)<-a. ②当a=0时，|f(x)|<a无解. |f(x)|>a⇔f(x)≠0. ③当a<0时，|f(x)|<a无解. |f(x)|>a⇔f(x)有意义即可.
2x a b c， 于是 f (x) b a c， 2x a b c， x a， a x b， x b.
这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,
求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.
其他类型的绝对值不等式
综上可知，所求a的取值范围是(-≦,-1］∪［3,+≦).
答案：(-≦,-1］∪［3,+≦)
3. 因为|x2－3|＜2x，所以x＞0， 所以|x2－3|＜2x⇔－2x＜x2－3＜2x⇔
2 2 3， 3＞0， －2x＜x － x 2x－ 2 2 3＜2x 3＜0， x － x －2x－
②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也
可负).
若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂 .
(4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式. 此类问题的简单解法是利用等价转化法，即 a<|f(x)|<b(0<a<b)⇔a<f(x)<b或-b<f(x)<-a. (5)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式. 此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f(x)|<f(x)⇔x∈∅， |f(x)|>f(x)⇔f(x)<0.
2
【误区警示】本题易忽视隐含条件2-x≥0而致误.
【拓展提升】|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等
式的解法 (1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式有三种解 法：分区间(分类)讨论法\,图象法和几何法.分区间讨论的方 法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数 据较简单的情况.
2x 3 3x 1, x 25, 2x 3 3x 1, x 4, x 25. 3x 1 0, x 13 所以原不等式的解集为 ( 2 ， ). 5 答案：( 2 ， ). 5
2.若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件.
2 2
2.方法一：如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么 A,B两点间的距离为2,因此区间［-1,1］上的数都不是不等式 的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数 轴上的x. 所以-1-x+1-x=3,得 x 3 .
2
同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴 上的x,所以x-1+x-(-1)=3. 所以 x 3 .
【类题试解】 1.解关于x的不等式：|x2-a|<a. 2.若不等式|ax+2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a=______. 【解析】1.当a≤0时，不等式的解集为∅. 当a>0时，原不等式等价于-a<x2-a<a⇔0<x2<2a, 所以 2a x 2a, 且x 0. ( 2a,0) (0, 2a ). 综上所述，当a≤0时，原不等式的解集为∅; 当a>0时，原不等式的解集为
y 2x 3， x 1, 1 x 1, 1， 2x 3， x 1.
3 3 作出函数的图象(如图).函数的零点是 2 , 2 , 3 从图象可知当 x 或 x 3 时,y≥0. 2 2
即|x+1|+|x-1|-3≥0.
3 3 ( , ] [ , ). 所以原不等式的解集为 2 2 3 3 ( , ] [ , ) 答案： 2 2
解不等式组得 {x |1＜x＜ 3}.
【拓展提升】含参数的不等式问题分类及解题策略
(1)一类要对参数进行讨论，另一类对参数并没有进行讨论， 而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后 把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集. (2)解绝对值不等式的基本思想是想方设法去掉绝对值符号， 去绝对值符号的常用手段有以下几种： 形如｜f(x)｜≤g(x)或｜f(x)｜>g(x)的求解方法： (ⅰ)根据实数的绝对值的意义分类讨论，
(2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式.
此类问题的简单解法是利用平方法，即
|f(x)|<|g(x)|⇔［f(x)］2<［g(x)］2
⇔［f(x)+g(x)］［f(x)-g(x)］<0. (3)形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x) 型不等式.
此类不等式的简单解法是等价转化法，即
①|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x),
(2)分区间(分类)讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,
即 ｜x｜ x，x 0， x，x 0，
也即x∈R.x为非负数时,｜x｜为x;x为负
数时,｜x｜为-x,即x的相反数.
(3)｜x-a｜+｜x-b｜≥c,｜x-a｜+｜x-b｜≤c(c>0)型不等式 的图象解法和画出函数f(x)=｜x-a｜+｜x-b｜-c的图象是密 切相关的,其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出f(x) 的分段表达式.不妨设a<b,
【规范解答】含参数的绝对值不等式的解法
【规范解答】因为a∈R,故分以下两种情况讨论： (1)当a+1≤0①, 即a≤-1时， 原不等式无解， 即不等式的解集为∅.„„„„„„„„„„„„„„„„4分
(2)当a+1>0, 即a>-1时，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 原不等式可变为-a-1<2x+3<a+1.„„„„„„„„„„„8分
求它的解集.
探究提示： 1.题1中可采用不等式两边同时平方的方式去掉绝对值符号 . 2.解决题2的关键是理解绝对值的几何意义. 【解析】 1.|x－1|＞|x－2|⇔(x－1)2＞(x－2)2
3 x －2x 1＞x －4x 4 2x＞ 3 x＞ , 2 所以原不等式的解集为 {x | x＞3}. 2 3 答案： ( ， ) 2
每当人们去求解任何一道数学问题，
或力图攀登一个数学高峰，都被誉为摘 取科学皇冠上的明珠!
徐 安 福
2．绝对值不等式的解法
1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集. 不等式 |x|<a |x|>a a>0 a=0 ∅ __ a<0 ∅ __ R __
{x|-a＜x＜a} ___________
【典型例题】
1.不等式｜2x-3｜＜3x+1的解集是_____.
2.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|,如果对任意x∈R,f(x)≥2,则a的 取值范围是_______. 3.解不等式：|x2－3|＜2x.
【解析】1.|2x-3|<3x+1,由题意知3x+1>0,原不等式转化为 -(3x+1)<2x-3<3x+1. 以上不等式等价于
3
解含绝对值不等式的核心任务 解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等式恒等 变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌握的解题 方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.
类型 一简单绝对值不等式的解法 1.不等式 | x－2 | 1 的解集是_____.
2 1 【解析】1. | x－2 | 1 x－4 2 2 x－4 2, 2 1 2
2
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于 3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大 于 3， 所以原不等式的解集是 (, 3 ] [ 3 , ).
2 2
方法二：当x≤-1时,原不等式可以化为 -(x+1)-(x-1)≥3,解得 x 3 .
1.不等式|x－1|＜2的解集是_____. 【解析】由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3. 答案：(－1,3) 2.不等式|4－3x|≥2的解集是_____. 【解析】|4－3x|≥2⇔|3x－4|≥2⇔3x－4≤－2 或3x－4≥2，解得 x 2 或x≥2.
3
答案：(, 2 ) [2, )
所以 a 4 x a 2 . „„„„„„„„„„„„„„„10分
综上可知，当a>-1时，原不等式的解集为( a 4 , a 2 );
2 2 2 2
②
当a≤-1时，原不等式的解集为∅. „„„„„„„„„12分
【防范措施】 含参数的绝对值不等式 解含参数的绝对值不等式的题型，容易忽略对参数的符号进 行讨论，如本例需对a+1的符号进行讨论，否则易导致错误结 果.
a a 0 ， 即a a a 0 .
(ⅱ)根据公式：|x|<a⇔-a<x<a(a∈R且a>0); ｜f(x)｜<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x); |x|>a⇔x>a或x<-a(a∈R且a≥0); ｜f(x)｜>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x). (ⅲ)根据|a|2=a2(a∈R)，若不等式两边非负,可在不等式两边 同时平方,如｜f(x)｜≤｜g(x)｜⇔f2(x)≤g2(x).
2
当-1＜x＜1时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.当x≥1时,原不等式可以 化为x+1+x-1≥3.所以 x 3 .
2
综上,可知原不等式的解集为 {x | x 3 或x 3}.
2 2
方法三：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法. (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想, 理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号 正、负 性，进而去掉绝对值符号. 内多项式的_______ (3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程 零点 并画出函数图象(有时需要考查 的思想.正确求出函数的_____ 函数的增减性)是关键.
{x|x ＞a或x＜-a} ___________ {x∈R|x≠0} ______________
2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法. -c≤ax+b≤c (1)|ax+b|≤c⇔____________. ax+b≥c或ax+b≤-c (2)|ax+b|≥c⇔__________________.
类型 二含多个绝对值不等式的解法 【典型例题】 1.不等式|x－1|＞|x－2|的解集为______. 2.不等式|x+1|+|x-1|≥3的解集为______. 【解题探究】 1.题1中如何去掉绝对值号？ 2.解决题2的关键是什么？
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【变式练习】若将题1中的不等式改为 x－ 1＞ ( 2－x ) 2 ,
【互动探究】若将题1中的不等式改为 x－ 1＞ ( 2－x ) 2 , 求它的解集.
2 【解析】x－ 1＞ ( 2－x ) 2 (x－ 1) 2＞ 2－x
3 x 2－2x 1＞x 2－4x 4 2x＞ 3 x＞ , 2
又2－x≥0，所以x≤2. 所以原不等式的解集为 {x | 3 ＜x 2}.
2．不等式 |1 x 1 x 2 | ＜ 1 的解集为______.
解得2≤x≤6. 答案： ［2,6］
【拓展提升】绝对值不等式的常见类型及其解法 (1)形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式. 此类不等式的简单解法是等价转化法，即 ①当a>0时，|f(x)|<a⇒-a<f(x)<a. |f(x)|>a⇔f(x)>a或f(x)<-a. ②当a=0时，|f(x)|<a无解. |f(x)|>a⇔f(x)≠0. ③当a<0时，|f(x)|<a无解. |f(x)|>a⇔f(x)有意义即可.
2x a b c， 于是 f (x) b a c， 2x a b c， x a， a x b， x b.
这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,
求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.
其他类型的绝对值不等式
综上可知，所求a的取值范围是(-≦,-1］∪［3,+≦).
答案：(-≦,-1］∪［3,+≦)
3. 因为|x2－3|＜2x，所以x＞0， 所以|x2－3|＜2x⇔－2x＜x2－3＜2x⇔
2 2 3， 3＞0， －2x＜x － x 2x－ 2 2 3＜2x 3＜0， x － x －2x－
②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也
可负).
若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂 .
(4)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式. 此类问题的简单解法是利用等价转化法，即 a<|f(x)|<b(0<a<b)⇔a<f(x)<b或-b<f(x)<-a. (5)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式. 此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f(x)|<f(x)⇔x∈∅， |f(x)|>f(x)⇔f(x)<0.
2
【误区警示】本题易忽视隐含条件2-x≥0而致误.
【拓展提升】|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等
式的解法 (1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式有三种解 法：分区间(分类)讨论法\,图象法和几何法.分区间讨论的方 法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数 据较简单的情况.
2x 3 3x 1, x 25, 2x 3 3x 1, x 4, x 25. 3x 1 0, x 13 所以原不等式的解集为 ( 2 ， ). 5 答案：( 2 ， ). 5
2.若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件.
2 2
2.方法一：如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么 A,B两点间的距离为2,因此区间［-1,1］上的数都不是不等式 的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数 轴上的x. 所以-1-x+1-x=3,得 x 3 .
2
同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴 上的x,所以x-1+x-(-1)=3. 所以 x 3 .
【类题试解】 1.解关于x的不等式：|x2-a|<a. 2.若不等式|ax+2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a=______. 【解析】1.当a≤0时，不等式的解集为∅. 当a>0时，原不等式等价于-a<x2-a<a⇔0<x2<2a, 所以 2a x 2a, 且x 0. ( 2a,0) (0, 2a ). 综上所述，当a≤0时，原不等式的解集为∅; 当a>0时，原不等式的解集为
y 2x 3， x 1, 1 x 1, 1， 2x 3， x 1.
3 3 作出函数的图象(如图).函数的零点是 2 , 2 , 3 从图象可知当 x 或 x 3 时,y≥0. 2 2
即|x+1|+|x-1|-3≥0.
3 3 ( , ] [ , ). 所以原不等式的解集为 2 2 3 3 ( , ] [ , ) 答案： 2 2
解不等式组得 {x |1＜x＜ 3}.
【拓展提升】含参数的不等式问题分类及解题策略
(1)一类要对参数进行讨论，另一类对参数并没有进行讨论， 而是去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后 把两不等式组的解集合并，即得该不等式的解集. (2)解绝对值不等式的基本思想是想方设法去掉绝对值符号， 去绝对值符号的常用手段有以下几种： 形如｜f(x)｜≤g(x)或｜f(x)｜>g(x)的求解方法： (ⅰ)根据实数的绝对值的意义分类讨论，
(2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式.
此类问题的简单解法是利用平方法，即
|f(x)|<|g(x)|⇔［f(x)］2<［g(x)］2
⇔［f(x)+g(x)］［f(x)-g(x)］<0. (3)形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x) 型不等式.
此类不等式的简单解法是等价转化法，即
①|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x),
(2)分区间(分类)讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解,
即 ｜x｜ x，x 0， x，x 0，
也即x∈R.x为非负数时,｜x｜为x;x为负
数时,｜x｜为-x,即x的相反数.
(3)｜x-a｜+｜x-b｜≥c,｜x-a｜+｜x-b｜≤c(c>0)型不等式 的图象解法和画出函数f(x)=｜x-a｜+｜x-b｜-c的图象是密 切相关的,其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出f(x) 的分段表达式.不妨设a<b,